Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB₁∥AC．動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運(yùn)動．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF上AC交射線BB₁于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；
（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時，求t的值；
（3）以DH所在直線為對稱軸，線段AC經(jīng)軸對稱變換后的圖形為A′C′．
①當(dāng)t＞時，連接C′C，設(shè)四邊形ACC′A′的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)線段A′C′與射線BB′，有公共點(diǎn)時，求t的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長，即可得到AD、t的值，從而確定AE的長，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG與△ACB相似，要分兩種情況：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根據(jù)這些比例線段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表達(dá)式時，要分AD＞AE和AD＜AE兩種情況）
（3）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知：DH分別垂直平分AA′、CC′，則AA′∥CC′，顯然AA′≠CC′，因此四邊形ACC′A′是梯形；首先用t表示出AD，易證得△ACB∽△AHD，根據(jù)得到的比例線段可求得AH、DH的表達(dá)式，在Rt△COD中，通過解直角三角形，可求得OD、OC的長，進(jìn)而可求得梯形的高OH的值，而梯形的上下底分別是AH、OC的2倍，可根據(jù)梯形的面積公式求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；
②此題只需考慮兩種情況即可：
一、A′落在BB′上時，此時A′、B重合，AA′=AB=5，根據(jù)①所得AA′的表達(dá)式即可求得t的值；
二、C′落在BB′上時，在①已證得AB∥CC′，那么四邊形ACC′B為平行四邊形，即AB=CC′，根據(jù)①所得CC′的表達(dá)式即可求得t的值；
綜合上面兩種情況所得的t值，即可求得t的取值范圍．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴當(dāng)AD=AB時，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中點(diǎn)，
∴GE=2．
當(dāng)AD＜AE（即t＜）時，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG與△ACB相似，則或，
∴或，
∴t=或t=；
當(dāng)AD＞AE（即t＞）時，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG與△ACB相似，則或，
∴或，
解得t=或t=；
綜上所述，當(dāng)t=或或或時，△DEG與△ACB相似．

（3）①由軸對稱的性質(zhì)變換得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，則AA′∥CC′；
易知OC≠AH，故AA′≠CC′，
∴四邊形ACC′A′是梯形；
∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴==，
∴AH=3t，DH=4t．
∵sin∠ADH=sin∠CDO，
∴，即=，
∴CO=3t-．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t-．
∵OD=CD•cos∠CDO=（5t-3）×=4t-，
∴OH=DH-OD=．
∴S=（AA′+CC′）•OH=（6t+6t-）×=t-；
②≤t≤；
當(dāng)A′落在射線BB′上時（如圖甲），AA′=AB=5，
∴6t=5，∴t=；
當(dāng)點(diǎn)C′落在射線BB′上時（如圖乙），易CC′∥AB；
故四邊形ACC′B為平行四邊形，

∴CC′=AB=5，
∴6t-=5，t=．
故≤t≤．
點(diǎn)評：此題考查了勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形及梯形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形等相關(guān)知識，綜合性強(qiáng)，是一道難度較大的壓軸題．