Question

【題目】如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=900，AC=BC,點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(3，m)（m>0），線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)B、D．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用m表示）；

（2）求拋物線的解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連結(jié)BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試證明：FC(AC+BC)為定值．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）AO=AC-OC=m-3，用線段的長(zhǎng)度表示點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）為拋物線頂點(diǎn)，可設(shè)頂點(diǎn)式，求解析式；（3）設(shè)Q（x，x2-2x+1），過(guò)Q點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，運(yùn)用相似比求出FC、EC的長(zhǎng)，而AC=m，代入即可．

試題解析：（1） 由B（3，m）可知OC=3，BC=m，

又△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=BC=m，OA=m-3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3-m，0）．

（2）∵∠ODA=∠OAD=45°

∴OD=OA=m-3，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，m-3）．

又拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），且過(guò)點(diǎn)B、D，

所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）2，

得：

解得

∴拋物線的解析式為y=x2-2x+1；

（3）證明：過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，x2-2x+1），

則QM=CN=（x-1）2，MC=QN=3-x．

∵QM∥CE

∴△PQM∽△PEC

∴

即，得EC=2（x-1）

∵QN∥FC

∴△BQN∽△BFC

∴，

即，得FC=

又∵AC=4

∴FC（AC+EC）= [4+2（x-1）]= （2x+2）=×2×（x+1）=8

即FC（AC+EC）為定值8．