Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

1

2

(x-2)2+k與y軸交于點A（0，1），過點A和 x軸平行的直線與拋物線的另一個交點為B．P為拋物線上一點（點P不與A、B重合），設(shè)點P的橫坐標為m，△PAB的面積為S．
（1）求點B的坐標．
（2）求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)S=4時，求m的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-

1

2

(x-2)2+k與y軸交于點A（0，1），直接代入A點得出拋物線解析式，再利用y=1時進而得出x的值，即可得出B點坐標；
（2）首先表示出P點坐標，進而表示出△PAB的底與高的長度，即可得出S與m的關(guān)系式；
（3）將S=4代入（2）中所求，即可得出答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

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2

(x-2)2+k與y軸交于點A（0，1），
∴1=-

1

2

（0-2）²+k，
解得：k=3，
則拋物線解析式為：y=-

1

2

（x-2）²+3=-

1

2

x²+2x+1，
∵過點A和 x軸平行的直線與拋物線的另一個交點為B，
∴1=-

1

2

（x-2）²+3，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴B點坐標為：（4，1）；

（2）當(dāng)P點在AB上方時，設(shè)點P的橫坐標為m，△PAB的面積為S，
∴P點坐標為：（m，-

1

2

m²+2m+1），
由題意可得出：AB=4，P到AB的距離為：-

1

2

m²+2m+1-1=-

1

2

m²+2m，
∴S=

1

2

×4×（-

1

2

m²+2m）=-m ²+4m；
∴S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=-m ²+4m；
當(dāng)P點在AB下方時，設(shè)點P的橫坐標為m，△PAB的面積為S，
∴P點坐標為：（m，-

1

2

m²+2m+1），
由題意可得出：AB=4，P到AB的距離為：1+

1

2

m²-2m-1=

1

2

m²-2m，
∴S=

1

2

×4×（

1

2

m²-2m）=m ²-4m；
∴S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=m ²-4m；

（3）當(dāng)S=4時，
則4=-m ²+4m，
解得：m₁=m₂=2，
4=m ²-4m，
解得：m₃=2+2

2

，m₄=2-2

2

．
即m的值為2，2+2

2

，2-2

2

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形面積求法和圖象上點的坐標性質(zhì)，根據(jù)P點坐標得出P到AB的距離是解題關(guān)鍵．