Question

AB是⊙O的一條弦，它的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作一條非直徑的弦CD，過點(diǎn)C和D作⊙O的兩條切線，分別與直線AB相交于P、Q兩點(diǎn)．求證：PA=QB

 

 

Answer 1

【答案】

通過證明∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM． 故OP= OQ.從而，MP=MQ. 又MA=MB，所以，PA=QB.

【解析】

試題分析：如圖，聯(lián)結(jié)OM、OP 、OQ、OC、OD.因?yàn)镻C,為0 D的切線（已知）

，M為弦AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AB，垂足為點(diǎn)M。則∠PCO=∠PMO=90°。

 

根據(jù)四點(diǎn)共圓判定：共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等，所以，P、C、M、O四點(diǎn)共圓．則 同理圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，易知∠OMB=∠ODQ=90°，所以它們對(duì)角互補(bǔ)。則Q、D、O、M四點(diǎn)共圓．所以則有∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM．

易知OP=OQ.所以，MP=MQ. 又因?yàn)镸A=MB，所以，PA=QB.

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：本題難度較低，主要考查學(xué)生對(duì)圓的切線性質(zhì)及四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的掌握。