AB是⊙O的一條弦,它的中點為M,過點M作一條非直徑的弦CD,過點C和D作⊙O的兩條切線,分別與直線AB相交于P、Q兩點.求證:PA=QB

 

 

【答案】

通過證明∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM. 故OP= OQ.從而,MP=MQ. 又MA=MB,所以,PA=QB.

【解析】

試題分析:如圖,聯(lián)結(jié)OM、OP 、OQ、OC、OD.因為PC,為0 D的切線(已知)

,M為弦AB的中點,所以O(shè)M⊥AB,垂足為點M。則∠PCO=∠PMO=90°。

 

根據(jù)四點共圓判定:共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等,所以,P、C、M、O四點共圓.則 同理圓內(nèi)接四邊形的對角互補,易知∠OMB=∠ODQ=90°,所以它們對角互補。則Q、D、O、M四點共圓.所以則有∠OPM=∠OCM=∠ODM=∠OQM.

易知OP=OQ.所以,MP=MQ. 又因為MA=MB,所以,PA=QB.

考點:四點共圓的判定與性質(zhì)

點評:本題難度較低,主要考查學(xué)生對圓的切線性質(zhì)及四點共圓的判定與性質(zhì)等知識點的掌握。

 

練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,⊙O的半徑為1,AB是⊙O的一條弦,且AB=
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,則弦AB所對圓周角的度數(shù)為
 

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精英家教網(wǎng)如圖,AB是⊙O的一條弦,OD⊥AB于點C,交⊙O于點D,點E在⊙O上,∠AED=25°,則∠OBA的度數(shù)是
 

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22、如圖所示,AB是⊙O的一條弦(不是直徑),點C,D是直線AB上的兩點,且AC=BD.
(1)判斷△OCD的形狀,并說明理由.
(2)當(dāng)圖中的點C與點D在線段AB上時(即C,D在A,B兩點之間),(1)題的結(jié)論還存在嗎?

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如圖所示,AB是⊙O的一條弦,OD⊥AB,垂足為C,交⊙O于點D,點E在⊙O上.
(1)若OC=3,OA=5,求AB的長;
(2)若∠AOD=52°,求∠DEB的度數(shù).

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如圖,AB是⊙O的一條弦,CD⊥AB,垂足為C,交⊙O于點D,點E在⊙上,若∠DEB=26°,則∠OAC的度數(shù)為
38°
38°

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