【題目】如圖,在RtABC中,∠B90°AB20cmBC15cm,動點P從點A出發(fā),以每秒4cm的速度沿AB方向運動,到達點B時停止運動.過點PAB的垂線交斜邊AC于點E,將APE繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DPF.設點P在邊AB上運動的時間為t(秒).

1)當點F與點B重合時,求t的值;

2)當DPFABC重疊部分的圖形為四邊形時,設此四邊形的面積為S,求St的函數(shù)關系式;

3)若點MDF的中點,當點M恰好在RtABC的內(nèi)角角平分線上時,求t的值.

【答案】1;(2S=0<t≤);(3.

【解析】

1)由條件可得AP=4t,易證,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PE=3t,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PE= PF,然后根據(jù)PF+AP=AB建立方程,就可求出t的值.

2)先用t的代數(shù)式表示出DE長及的面積,然后證明,再求出的面積,然后運用相似三角形性質(zhì)(相似三角形的面積比等于相似比的平方)將的面積用t的代數(shù)式表示,就可得到St的函數(shù)關系式.

3)設DFAC于點G,過點MMHAB于點H,過點MMNBC于點N,如圖3,先分別用t的代數(shù)式表示出MG、MH、MN的長,然后運用角平分線的性質(zhì)建立等量關系,就可求出t的值.

(1) APE繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DPF,

∴∠D=A,DFP=AEP,DPB=APE=90°,AP=DP,EP=FP,AE=DF,

∵點F與點B重合,

PB=PF,

EP=BP,

AB=20,AP=4t

EP=BP=20-4t,

∵∠APE=ABC=90°,

PEBC,

,

,

BC=15,AP=4t,AB=20,

PE=3t,

EP=BP=20-4t,

3t=10-4t,

解得:t=,

t的值為(秒);

2)當重疊部分的圖形為四邊形時,如下圖:

此時0<t≤,

PEBC,

∴∠DEG=C,

又∵∠D=A,

,

,

∵∠B=90°,AB=20,BC=15,

AC=25, ==150,

DE=DP-EP=AP-EP=4t-3t=t,

,

=,

===,

S=-=-=,

St的函數(shù)關系式為:S=0<t≤.

3)設DFAC于點G,過點MMHAB于點H,過點MMNBC于點N,如下圖:

,

∴∠DGE=B=90°, ,

DE=t,AB=20,AC=25,

DG=,

∵∠APE=90°,AP=4t,PE=3t,

AE=5t,

DF=AE=5t,

∵點MDF的中點,

DM=FM=DF=,

MG=DM-DG==,

∵∠MHF=DPF=90°,

MHDP,

,

,

MH=DP=2t,FH=FP=EP=,

HB=AB-AP-PH=20-4t-=20-,

∵∠MHB=B=MNB=90°,

∴四邊形MNBH為矩形,

MN=HB=20-,

①當點M在∠A的角平分線上時,

MGAC,MHAB,

MG=MH,

=2t,

解得:t=0(舍去).

②當點M在∠B的角平分線上時,

MNBC,MHAB,

MH=MN,

2t=20- ,

解得:t= ,

③當點M在∠C的角平分線上時,

MGAC,MNBC,

MG=MN,

=20- ,

解得:t= ,

綜上所述,當點M恰好在的內(nèi)角角平分線上時,t的值為(秒)或(秒).

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