Question

【題目】如圖，直線 軸于點(diǎn) ，點(diǎn)是直線 上的動(dòng)點(diǎn)．直線 交 于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作直線 垂直于 ，垂足為 ，過點(diǎn) ， 的直線 交 于點(diǎn) E，當(dāng)直線 ，，能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為 ，當(dāng)直線 ，，能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為 ．

（1）若點(diǎn) 在線段 上，且 ，則 點(diǎn)坐標(biāo)為_________；

（2）若點(diǎn) 在直線上，且，則的度數(shù)為_______.

Answer 1

【答案】 或

【解析】

（1）設(shè)B的坐標(biāo)是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形，即可表示出S1，求得直線l1的解析式，解方程組即可求得E的坐標(biāo)，則S2的值即可求得，根據(jù)S1=S2，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程從而求得m的值；
（2）分類討論，根據(jù)S2=S1，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程從而求得m的值，根據(jù)勾股定理，求得角的度數(shù)．

解：（1）設(shè)B的坐標(biāo)是（2，m），
∵直線l2：y=x+1交l1于點(diǎn)C，
∴∠ACE=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
則BD=CD=BC=|3-m|，

S1=×（|3-m|）2=（3-m）2．
設(shè)直線l4的解析式是y=kx，過點(diǎn)B，
則2k=m，解得：k=，
則直線l4的解析式是y=x．
根據(jù)題意得： ，解得：，
則E的坐標(biāo)是（，）．
S△BCE=BC|2|=|3-m|||=．
∴S2=S△BCE-S1=- （3-m）2 ．
當(dāng)S1=S2時(shí)，-（3-m）2=（3-m）2．
解得：m1=4或m2=0，
易得點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，3），即AC=3，
∵點(diǎn)B在線段AC上，
∴m1=4不合題意舍去，
則B的坐標(biāo)是（2，0）；
（2）分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí)
當(dāng)S2=S1時(shí)，-（3-m）2= （3-m）2．
解得：m=4-2 或2（不在線段AC上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）．
則AB=4-2．
在OA上取點(diǎn)F，使OF=BF，連接BF，設(shè)OF=BF=x．

則AF=2-x，根據(jù)勾股定理，x2＝(2x)2+(42)2，
解得：x＝84，
∴sin∠BFA=＝，
∴∠BFA=30°，
∴∠BOA=15°；
或由s1=s2可得CD=DE，所以BD是CE的中垂線，所以BC=BE，根據(jù)∠BCD=45°即可知CB⊥BO，所以B必須與A重合，所以B（2，0），
②當(dāng)點(diǎn)B在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，

此時(shí)，S2＝S△BCE+S1＝+ (3m)2
當(dāng)S2=S1時(shí)，得：+(3m)2＝

(3m)2，
解得符合題意有：AB=4+2．
在AB上取點(diǎn)G，使BG=OG，連接OG，設(shè)BG=OG=x，
則AG=4+2-x．根據(jù)勾股定理，得x2＝(4+2x)2+22，
解得：x=4，
∴sin∠OGA=＝，
∴∠OGA=30°，
∴∠OBA=15°，
∴∠BOA=75°；

③當(dāng)點(diǎn)B在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，S1＞S2，
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)B不存在，
綜上所述，∠BOA的度數(shù)為15°或75°．