Question

【題目】已知，點M是二次函數(shù)y=ax2（a＞0）圖象上的一點，點F的坐標為（0， ），直角坐標系中的坐標原點O與點M，F(xiàn)在同一個圓上，圓心Q的縱坐標為 ．

（1）求a的值；
（2）當O，Q，M三點在同一條直線上時，求點M和點Q的坐標；
（3）當點M在第一象限時，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，求證：MF=MN+OF．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵圓心O的縱坐標為 ，

∴設Q（m， ），F(xiàn)（0， ），

∵QO=QF，

∴m2+（ ）2=m2+（ ﹣ ）2，

∴a=1，

∴拋物線為y=x2

（2）

解：∵M在拋物線上，設M（t，t2），Q（m， ），

∵O、Q、M在同一直線上，

∴KOM=KOQ，

∴ = ，

∴m= ，

∵QO=QM，

∴m2+（ ）2=（m﹣t）2=（ ﹣t2）2，

整理得到：﹣ t2+t4+t2﹣2mt=0，

∴4t4+3t2﹣1=0，

∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，

∴t1= ，t2=﹣ ，

當t1= 時，m1= ，

當t2=﹣ 時，m2=﹣ ．

∴M1（ ， ），Q1（ ， ），M2（﹣ ， ），Q2（﹣ ， ）

（3）

解：設M（n，n2）（n＞0），

∴N（n，0），F(xiàn)（0， ），

∴MF= =n2+ ，MN+OF=n2+ ，

∴MF=MN+OF．

【解析】（1）設Q（m， ），F(xiàn)（0， ），根據(jù)QO=QF列出方程即可解決問題．（2）設M（t，t2），Q（m， ），根據(jù)KOM=KOQ ， 求出t、m的關(guān)系，根據(jù)QO=QM列出方程即可解決問題．（3）設M（n，n2）（n＞0），則N（n，0），F(xiàn)（0， ），利用勾股定理求出MF即可解決問題．本題考查二次函數(shù)的應用、三點共線的條件、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是設參數(shù)解決問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考常考題型．