Question

如圖，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為等腰Rt△ABC內(nèi)一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．
（1）求證：DE平分∠BDC；
（2）連接BE，設(shè)DC=a，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及已知條件得出∠DAB=∠DBA=30°，則AD=BD，再證明CD是邊AB的垂直平分線，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠CDE=∠BDE=60°即可；
（2）先由三角形內(nèi)角和定理及∠ACB=90°得出∠BCE=∠ACE-∠ACB=60°，又由CE=AC=BC，證明△BCE是等邊三角形，則所求BE的長即轉(zhuǎn)化為求AC的長；再解斜△ACD，為此，過D作DM⊥AC于點M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．分別求出MC=a，NM=a，AN=a，則AC=AN+NM+MC可求．
解答：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分線上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分線上，
即直線CD是AB的垂直平分線，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC；

（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，
∴AC=CE，∠ACE=150°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=60°，
∵AC=CE，AC=BC，
∴CE=BC，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BE=BC=AC．
如圖，在△ACD中，過點D作DM⊥AC于點M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．
在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，
∴DM=MC=a．
在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，
∴DN=2DM=a，NM=DM=a．
∵∠ADN=∠CAD=15°，
∴AN=DN=a，
∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，
∴BE=AC=a．
點評：此題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，解三角形等知識，有一定難度．其中（2）運用轉(zhuǎn)化思想，將所求BE的長轉(zhuǎn)化為求AC的長；將解斜△ACD轉(zhuǎn)化為解直角△CDM與△DMN是解題的關(guān)鍵．