【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,點(diǎn)M為AB上的一動(dòng)點(diǎn),將矩形ABCD沿某一直線對(duì)折,使點(diǎn)C與點(diǎn)M重合,該直線與AB(或BC)、CD(或DA)分別交于點(diǎn)P、Q
(1)用直尺和圓規(guī)在圖甲中畫出折痕所在直線(不要求寫畫法,但要求保留作圖痕跡)
(2)如果PQ與AB、CD都相交,試判斷△MPQ的形狀并證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)AM=x,d為點(diǎn)M到直線PQ的距離,y=d2 ,
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍;
②當(dāng)直線PQ恰好通過點(diǎn)D時(shí),求點(diǎn)M到直線PQ的距離.
【答案】
(1)
解:如圖1所示:
(2)
解:△MPQ是等腰三角形;理由如下:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,CD=AB=10,
∴∠QCO=∠PMO,
由折疊的性質(zhì)得:PQ是CM的垂直平分線,
∴CQ=MQ,OC=OM,
在△OCQ和△OMP中, ,
∴△OCQ≌△OMP(ASA),
∴CQ=MP,
∴MP=MQ,
即△MPQ是等腰三角形
(3)
解:①作MN⊥CD于N,如圖2所示:
則MN=AD=6,DN=AM=x,CN=10﹣x,
在Rt△MCN中,由勾股定理得:CM2=MN2+CN2,
即(2d)2=62+(10﹣x)2,
整理得:d2= x2﹣5x+34,
即y= x2﹣5x+34(0≤x≤10);
②當(dāng)直線PQ恰好通過點(diǎn)D時(shí),如圖3所示:
則Q與D重合,DM=DC=10,
在Rt△ADM中,AM= =8,
∴BM=10﹣8=2,
∴CM= = =2 ,
∴d= CM= ,
即點(diǎn)M到直線PQ的距離為 .
【解析】(1)作線段CM的垂直平分線即可;(2)由矩形的性質(zhì)得出AB∥CD,CD=AB=10,得出∠QCO=∠PMO,由折疊的性質(zhì)得出PQ是CM的垂直平分線,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出CQ=MQ,由ASA證明△OCQ≌△OMP,得出CQ=MP,得出MP=MQ即可;(3)①作MN⊥CD于N,如圖2所示:則MN=AD=6,DN=AM=x,CN=10﹣x,在Rt△MCN中,由勾股定理得出(2d)2=62+(10﹣x)2 , 即可得出結(jié)果;②當(dāng)直線PQ恰好通過點(diǎn)D時(shí),Q與D重合,DM=DC=10,由勾股定理求出AM,得出BM,再由勾股定理求出CM,即可得出結(jié)果.本題是四邊形綜合題目,考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度,證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有公路l1同側(cè)、l2異側(cè)的兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B,如下圖.電信部門要修建一座信號(hào)發(fā)射塔,按照設(shè)計(jì)要求,發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A,B的距離必須相等,到兩條公路l1,l2的距離也必須相等,發(fā)射塔C應(yīng)修建在什么位置?請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn),注明點(diǎn)C的位置.(保留作圖痕跡,不要求寫出畫法)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0)、B(1,0),直線x=﹣0.5與此拋物線交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)M,在直線上取點(diǎn)D,使MD=MC,連接AC、BC、AD、BD,某同學(xué)根據(jù)圖象寫出下列結(jié)論:
①a﹣b=0;
②當(dāng)﹣2<x<1時(shí),y>0;
③四邊形ACBD是菱形;
④9a﹣3b+c>0
你認(rèn)為其中正確的是( )
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,已知AD =8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC
重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長(zhǎng)為( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=a,BC=b,DE垂直平分AB,則(1)△BEC的周長(zhǎng)為_____;(2)若EF=BF,BE⊥AC于E,則∠EFC=______°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,E是AD中點(diǎn),EF⊥BC于點(diǎn)F,BC=5,EF=3.
(1)若AB=DC,則四邊形ABCD的面積S=;
(2)若AB>DC,則此時(shí)四邊形ABCD的面積S′ S(用“>”或“=”或“<”填空).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近期,我市中小學(xué)廣泛開展了“傳承中華文化,共筑精神家園”愛國(guó)主義讀書教育活動(dòng),某中學(xué)為了解學(xué)生最喜愛的活動(dòng)形式,以“我最喜愛的一種活動(dòng)”為主題,進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,收集數(shù)據(jù)整理后,繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問題:
最喜愛的一種活動(dòng)統(tǒng)計(jì)表
活動(dòng)形式 | 征文 | 講故事 | 演講 | 網(wǎng)上競(jìng)答 | 其他 |
人數(shù) | 60 | 30 | 39 | a | b |
(1)在這次抽樣調(diào)查中,一共調(diào)查了多少名學(xué)生?扇形統(tǒng)計(jì)圖中“講故事”部分的圓心角是多少度?
(2)如果這所中學(xué)共有學(xué)生3800名,那么請(qǐng)你估計(jì)最喜愛征文活動(dòng)的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y= (k≠0,x>0)的圖象如圖所示,若z= ,則z關(guān)于x的函數(shù)圖象可能為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列文字與例題,并解答:
將一個(gè)多項(xiàng)式分組進(jìn)行因式分解后,可用提公因式法或公式法繼續(xù)分解的方法稱作分組分解法.
例如:以下式子的分解因式的方法就稱為分組分解法.
A2+2ab+b2+ac+bc
原式=(a2+2ab+b2)+ac+bc
=(a+b)2+c(a+b)
=(a+b)(a+b+c)
(1)試用“分組分解法”因式分解:
(2)已知四個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c,d,滿足a≠b,c≠d,并且aa+ac=12k,b2+bc=12k,c2+ac=24k,d2+ad=24k
,同時(shí)成立.
①當(dāng)k=1時(shí),求a+c的值;
②當(dāng)k≠0時(shí),用含a的代數(shù)式分別表示、、 (直接寫出答案即可).
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