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如圖，拋物線與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在x軸上找一點D，使得以點A、C、D為頂點的三角形是直角三角形，求點D的坐標．

解；（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+3），由題意，得
3=-3a，
∴a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x-1）（x+3），即y=-x2+2x+3．

（2）∵點D在x軸上，
∴在Rt△ACD中，∠CAD不可能為直角．
當∠ADC=90°時，D點與O點重合，
∴D（0，0），
當∠ACD′=90°時，
∴∠D′CO+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠D′CO=∠OAC，
∴△D′CO∽△CAO，
∴，
∴，
∴D′O=9，
∴D′（-9，0）．
綜上所述，D點的坐標為：（0，0）或（-9，0）

分析：（1）由條件拋物線經過A（1，0），B（-3，0）和C（0，3）．由待定系數法就可以直接求出拋物線的解析式．
（2）由條件可以知道∠CAD不可能為直角，從∠ADC和∠ACD′是直角來討論可以求出點D的坐標．
點評：本題考查了待定系數法求拋物線的解析式，直角三角形的性質，相似三角形的判定及性質．
練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），設拋物線的頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；
（2）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請指出符合條件的點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1＜x2，與y軸交于點C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的兩個根．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM，當△CMN的面積最大時，求點M的坐標；
（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•歷下區(qū)一模）如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于C（0，3），M是拋物線對稱軸上的任意一點，則△AMC的周長最小值是
10
+5
10
+5
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，拋物線與y軸交于點A（0，4），與x軸交于B、C兩點．其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0兩根，且OB＜OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AC上是否存在點D，使△BCD為直角三角形．若存在，求所有D點坐標；反之說理；
（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點（A點除外），連PA、PC，若設△PAC的面積為S，P點橫坐標為t，則S在何范圍內時，相應的點P有且只有1個．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖，拋物線與x軸交于A、B（6，0）兩點，且對稱軸為直線x=2，與y軸交于點C（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，連接MA、MC，當△MAC的周長最小時，求點M的坐標；
（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標，若不存在，請說明理由．

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