【題目】如圖,拋物線與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點,且x1<x2,與y軸交于點C(0,﹣4),其中x1,x2是方程x2﹣4x﹣12=0的兩個根.
(1)求A、B兩點坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)點M是線段AB上的一個動點(不與A、B兩點重合),過點M作MN∥BC,交AC于點N,連接CM,在M點運動時,△CMN的面積是否存在最大值?若存在,求出△CMN面積最大時點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(﹣2,0),B(6,0).(2)y=x2﹣x﹣4.(3)存在,點M的坐標為(2,0).
【解析】
(1)通過解方程能求出兩根,再根據(jù)題干給出的大小關系確定A、B點的坐標.
(2)已知A、B、C三點坐標,利用待定系數(shù)法即可確定該函數(shù)的解析式.
(3)首先設點M的坐標,然后表示出AM的長;已知MN//BC,利用相似三角形三角形AMN、三角形ABC求出三角形AMN的面積表達式;以AM為底、OC為高易得三角形ACM的面積, 三角形ACM、三角形AMN的面積差即為三角形MNC的面積,再根據(jù)所得函數(shù)的性質來判斷三角形MNC是否具有最大面積.
解:(1)∵x2﹣4x﹣12=0,
∴x1=﹣2,x2=6.
即:A(﹣2,0),B(6,0).
(2)∵拋物線過點A、B、C,
∴設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣6),將點C的坐標代入,得:
﹣4=a(0+2)(0﹣6),
解得a=.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4.
(3)存在.
設點M的坐標為(m,0),過點N作NH⊥x軸于點H
∵點A的坐標為(﹣2,0),點B的坐標為(6,0),
∴AB=8,AM=m+2.
∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC.
∴=,∴=,
∴NH=
∴S△CMN
=S△ACM﹣S△AMN
=AMCO﹣AMNH
=(m+2)(4﹣)
=﹣m2+m+3
=﹣(m﹣2)2+4.
∴當m=2時,S△CMN有最大值4.
此時,點M的坐標為(2,0).
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【題目】2017年10月31日,在廣州舉行的世界城市日全球主場活動開幕式上,住建部公布許昌成為“國家生態(tài)園林城市”在2018年植樹節(jié)到來之際,許昌某中學購買了甲、乙兩種樹木用于綠化校園.若購買7棵甲種樹和4棵乙種樹需510元;購買3棵甲種樹和5棵乙種樹需350元.
(1)求甲種樹和乙種樹的單價;
(2)按學校規(guī)劃,準備購買甲、乙兩種樹共200棵,且甲種樹的數(shù)量不少于乙種樹的數(shù)量的,請設計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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【題目】如圖,已知△ABC的面積為24,點D在線段AC上,點F在線段BC的延長線上,且BF=4CF,四邊形DCFE是平行四邊形,則圖中陰影部分的面積為( 。
A.3B.4C.6D.8
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=CB,AD=CD,對角線AC,BD相交于點O,OE⊥AB,OF⊥CB,垂足分別是E、F.求證:OE=OF.
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【題目】某商家銷售一款商品,進價每件80元,售價每件145元,每天銷售40件,每銷售一件需支付給商場管理費5元,未來一個月按30天計算,這款商品將開展“每天降價1元”的促銷活動,即從第一天開始每天的單價均比前一天降低1元,通過市場調查發(fā)現(xiàn),該商品單價每降1元,每天銷售量增加2件,設第x天且x為整數(shù)的銷售量為y件.
直接寫出y與x的函數(shù)關系式;
設第x天的利潤為w元,試求出w與x之間的函數(shù)關系式,并求出哪一天的利潤最大?最大利潤是多少元?
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=﹣1,點B的坐標為(1,0),則下列結論:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正確的結論有( 。﹤.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,矩形ABCD中,對角線AC的垂直平分線EF分別交BC,AD于點E,F,若BE=3,AF=5,則AC的長為( )
A. B. C. 10D. 8
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,CE平分交BD于點F,且,,連接OE,下列結論:①;②;③.其中正確的有( )
A.0個B.1個C.2個D.3個
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列說法:①2a+b=0,②當﹣1≤x≤3時,y<0;③3a+c=0;④若(x1,y1)(x2、y2)在函數(shù)圖象上,當0<x1<x2時,y1<y2,其中正確的是( 。
A. ①②④ B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
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