Question

【題目】閱讀下列例題的解題過(guò)程，并完成相關(guān)問(wèn)題

例：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12cm，BC＝18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．從運(yùn)動(dòng)開始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分別經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？為什么？

解：①設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)，PQ∥CD且PQ＝CD，此時(shí)四邊形PQCD為平行四邊形．

∵PD＝（12－t）cm，CQ＝2t cm，

∴12－t＝2t．∴t＝4．

∴當(dāng)t＝4時(shí)，PQ∥CD，且PQ＝CD．

②設(shè)經(jīng)過(guò)ts時(shí)，PQ＝CD，分別過(guò)點(diǎn)P，D作BC邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F．

當(dāng)CF＝EQ時(shí)，四邊形PQCD為梯形（腰相等）或者平行四邊形．

∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，

∴四邊形ABFD是矩形．∴AD＝BF．

∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，

∴CF＝BC－BF＝6 cm．

當(dāng)四邊形PQCD為梯形（腰相等）時(shí)，

PD＋2（BC－AD）＝CQ，

∴（12－t）＋12＝2t．∴t＝8．

∴當(dāng)t＝8時(shí)，PQ＝CD．

當(dāng)四邊形PQCD為平行四邊形時(shí)，由①知當(dāng)t＝4時(shí)，PQ＝CD．

綜上，當(dāng)t＝4時(shí)，PQ∥CD；當(dāng)t＝4或t＝8時(shí)，PQ＝CD．

問(wèn)題1：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

問(wèn)題2：從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)t取何值時(shí)，四邊形PQBA是矩形？

問(wèn)題3：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在t值，使得四邊形PQBA是正方形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

問(wèn)題4：是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】問(wèn)題1：不存在．理由見解析；問(wèn)題2：當(dāng)t＝6時(shí)，四邊形PQBA是矩形；問(wèn)題3：不存在．理由見解析；問(wèn)題4：當(dāng)t＝5或6或時(shí)，△DQC是等腰三角形．

【解析】

問(wèn)題1：要使四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD一定是平行四邊形，由例可知當(dāng)t＝4時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形，而此時(shí)DP≠DC，從而可得出結(jié)論；

問(wèn)題2：因?yàn)椤?/span>B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP成為矩形，據(jù)此列方程求解即可；

問(wèn)題3：要使四邊形PQBA是正方形，則四邊形PQBA一定是矩形．由問(wèn)題2知當(dāng)t＝6時(shí)，四邊形PQBA是矩形，而此時(shí)AP≠AB，從而可得出結(jié)論；

問(wèn)題4：分三種情況討論計(jì)算，①當(dāng)QC＝DC時(shí)；②當(dāng)DQ＝DC時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CQ；③當(dāng)QD＝QC時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CQ，分別列出方程求出時(shí)間，判斷時(shí)間是否符合題意即可．

解：?jiǎn)栴}1：不存在．理由：

要使四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD一定是平行四邊形．

由例知當(dāng)t＝4時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形．

此時(shí)DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，

所以按已知速度運(yùn)動(dòng)，四邊形PQCD只能是平行四邊形，但不可能是菱形．

問(wèn)題2：如圖，由題意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t．

要使四邊形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC，即AP∥BQ，只需滿足AP＝BQ，即t＝18－2t，解得t＝6．

所以當(dāng)t＝6時(shí)，四邊形PQBA是矩形．

問(wèn)題3：不存在．理由：

要使四邊形PQBA是正方形，則四邊形PQBA一定是矩形．

由問(wèn)題2知當(dāng)t＝6時(shí)，四邊形PQBA是矩形．

此時(shí)AP＝t＝6≠8，即AP≠AB，

所以按已知速度運(yùn)動(dòng)，四邊形PQBA只能是矩形，但不可能是正方形．

問(wèn)題4：當(dāng)△DQC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：

①如圖1，當(dāng)QC＝DC時(shí)，即2t＝10，∴t＝5．

②如圖2，當(dāng)DQ＝DC時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CQ，

則QH＝CH＝CQ＝t．

在Rt△DHC中，DH＝8，CH＝BC－AD＝6，

∴DC＝＝10，

∴t＝6．

③如圖3，當(dāng)QD＝QC時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CQ，DH＝8，CH＝6，DC＝10，CQ＝QD＝2t，QH＝2t－6．

在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2．

∴82＋（2t－6）2＝（2t）2．

解得t＝．

綜上，當(dāng)t＝5或6或時(shí)，△DQC是等腰三角形．