Question

（2013•閔行區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8，tanB=2，CE⊥AB，垂足為點E（點E在邊AB上），F(xiàn)為邊AD的中點，聯(lián)結(jié)EF，CD．
（1）如圖1，當點E是邊AB的中點時，求線段EF的長；
（2）如圖2，設(shè)BC=x，△CEF的面積等于y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當BC=16時，∠EFD與∠AEF的度數(shù)滿足數(shù)量關(guān)系：∠EFD=k∠AEF，其中k≥0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）分別延長BA、CF相交于點P，證出

PA

PB

=

AF

BC

=

PF

PC

=

1

2

，PA=AB=8，得出AE=BE=

1

2

AB=4，PE=PA+AE=12，再根據(jù)EC=BE•tanB=4×2=8，求出PC=

PE2+EC2

=4

13

，最后根據(jù)在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=

1

2

PC，即可得出EF=

1

2

PC=2

13

，
（2）在Rt△PEC中，先求出BE=

1

2

EC，根據(jù)BC=x，BE²+EC²=BC²，得出BE=

5

5

x，EC=2BE=

2 5

5

x，AE=AB-BE=8-

5

5

x，求出PE=PA+AE=16-

5

5

x，最后由 PF=

1

2

PC，得y=S_△EFC=

1

4

•

2 5

5

x（16-

5

5

x），
（3）在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，根據(jù)F為邊AD的中點，得AF=DF=

1

2

AD=8，F(xiàn)D=CD，∠DFC=∠DCF．根據(jù)AB∥CD，得∠DCF=∠P，∠DFC=∠P，在Rt△PEC中，根據(jù)∠PEC=90°，PF=

1

2

PC，得EF=PF，∠AEF=∠P=∠DFC，最后根據(jù)∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，得∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，即可得k=3．

解答：解：（1）分別延長BA、CF相交于點P，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵F為邊AD的中點，
∴

PA

PB

=

AF

BC

=

PF

PC

=

1

2

，
∴PA=AB=8，
∵點E是邊AB的中點，
∴AE=BE=

1

2

AB=4，
∴PE=PA+AE=12，
∵CE⊥AB，
∴EC=BE•tanB=4×2=8．
∴PC=

PE2+EC2

=

122+82

=4

13

，
在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=

1

2

PC，
∴EF=

1

2

PC=2

13

，

（2）在Rt△PEC中，
∵tanB=

EC

BE

=2，
∴BE=

1

2

EC，
∵BC=x，BE²+EC²=BC²，
∴BE=

5

5

x，
∴EC=2BE=

2 5

5

x，
∴AE=AB-BE=8-

5

5

x，
∴PE=PA+AE=16-

5

5

x，
∵PF=

1

2

PC，
∴y=S_△EFC=

1

4

•

2 5

5

x（16-

5

5

x）=-

1

10

x²+

8 5

5

x，（0＜x≤8

5

），

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，CD=AB=8，AD=BC=16，
∵F為邊AD的中點，
∴AF=DF=

1

2

AD=8，
∴FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠P，
∴∠DFC=∠P，
在Rt△PEC中，∠PEC=90°，PF=

1

2

PC，
∴EF=PF，
∴∠AEF=∠P=∠DFC，
又∵∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
∵∠EFD=k∠AEF，
∴k=3．

點評：此題考查了四邊形綜合，用到的知識點是四邊形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、三角形的面積等，關(guān)鍵是做出輔助線，構(gòu)造直角三角形，求出線段的長．