如圖所示，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求圓中陰影部分的面積.

 

【答案】

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，證得∠OCD=90°，即可證得CD是⊙O的切線；

(2)由（1）知△OCD是直角三角形，因此陰影部分的面積等于Rt△OCD的面積-扇形OCB的面積，分別求出它們的面積即可得出結(jié)果.

試題解析：（1）證明：連接OC，

∵CA=CD，∠ACD=120°，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠COD=2∠A=2×30°=60°，

∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠A=30°，

∴∠1=2∠A=60°．

∴S扇形OBC=．

在Rt△OCD中，∵，

∴．

∴．

∴圖中陰影部分的面積為．

考點(diǎn): （1）切線的判定；（2）扇形的面積.

 

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