Question

【題目】探究題：如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)在邊上，連接．

（1）請(qǐng)你解答以下問(wèn)題：

①求的度數(shù)；

②寫(xiě)出線(xiàn)段，，之間數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)在邊上，連接．請(qǐng)判斷的度數(shù)及線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）解決問(wèn)題：如圖3，在四邊形中，，，，與交于點(diǎn)．若恰好平分，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）①；②線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由見(jiàn)解析；

（2），，理由見(jiàn)解析．

（3）理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）①證明△BAD≌△CAE（SAS），可得結(jié)論：∠ACE=∠B=60°； ②由△BAD≌△CAE，得BD=CE，利用等邊三角形的AC=BC=BD+DC等量代換可得結(jié)論；

（2）如圖2，先證明△ABD≌△ACE，得BD=CE，∠ACE=∠B=45°，同理可得結(jié)論；

（3）如圖3，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建如圖2的兩個(gè)等腰直角三角形，已經(jīng)有一個(gè)△ABD，再證明△ACF也是等腰直角三角形，則利用（2）的結(jié)論求AC的長(zhǎng)．

（1）①∵和均為等邊三角形，

∴，，，

∴，

即，

∴，

∴，

②線(xiàn)段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：；

理由是：由①得：，

∴，

∵，

∴；

（2），，理由是：

如圖2，∵和均為等腰直角三角形，且，

∴，，，

即，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∵在等腰直角三角形中，，

∴；

（3）如圖3，過(guò)作的垂線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

∵，，，

∴，，

∵，

∴以BD的中點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，則A，C在此圓上，

∴、、、四點(diǎn)共圓，

∵恰好平分

∴，

∴是等腰直角三角形，

由（2）得：，

∴．