Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=5，聯(lián)結(jié)BD，sin∠ABD=．點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），聯(lián)結(jié)AP，與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)EC．

（1）求證：AE=CE；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，設(shè)BP=x，△PEC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，若△PEC是直角三角形，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（0＜x＜5）；（3）或15．

【解析】

試題分析：（1）由菱形的性質(zhì)得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS證明△ABE≌△CBE，即可得出結(jié)論．

（2）聯(lián)結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD．由三角函數(shù)求出AO=OC=，BO=OD=．由菱形面積得出AH=4，BH=3．由相似三角形的性質(zhì)得出，求出EF的長，即可得出答案；∴；

（3）因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．分情況討論：

①當(dāng)∠ECP=90°時(shí)，②當(dāng)∠CEP=90°時(shí)，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中，∵BA=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE．又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE．

（2）連接AC，交BD于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AH⊥BC，過點(diǎn)E作EF⊥BC，如圖1所示：

垂足分別為點(diǎn)H、F．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

∵AB=5，sin∠ABD=，∴AO=OC=，BO=OD=．

∵ACBD=BCAH，∴AH=4，BH=3．

∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴．

∵EF∥AH，∴，∴EF=，∴y=PCEF=，∴（0＜x＜5）．

（3）因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．如圖2所示：

①當(dāng)∠ECP=90°時(shí)

∵△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE=90°，∵cos∠ABP=，∴，∴BP=．

②當(dāng)∠CEP=90°時(shí)，∵△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB=45°，∴AO=OE=，∴ED=，BE=．

∵AD∥BP，∴，∴，∴BP=15．

綜上所述，當(dāng)△EPC是直角三角形時(shí)，線段BP的長為或15．