【題目】(問題提出)
如圖①,在中,若,,求邊上的中線的取值范圍.
(1)(問題解決)
解決此問題可以用如下方法:延長到點(diǎn)使,再連接(或?qū)?/span>繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到),把、、集中在中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷,由此得出中線的取值范圍.
(2)(應(yīng)用)
如圖②,在中,為的中點(diǎn),已知,,,求的長.
(3)(拓展)
如圖③,在中,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,過點(diǎn)作交邊于點(diǎn),連接。已知,,求的長.
【答案】(1);(2) ;(3).
【解析】
(1)延長AD到E,使AD=DE,連接BE,證△ADC≌△EDB,推出EB=AC,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可;
(2)同(1)可證△ADC≌△EDB,可得△ABE的三邊長,利用勾股定理的逆定理得出△ABE為直角三角形,然后在Rt△BED中利用勾股定理求出BD的長,進(jìn)而得出BC的長;
(3)延長ED到點(diǎn)G,使DG=ED,連接CG,FG.由△EBD≌△GCD可得∠B=∠GCD、BE=CG=4,根據(jù)∠A=90°知∠GCF=90°,利用勾股定理求得FG的長,最后由中垂線性質(zhì)即可得EF=FG.
(1)解:延長AD到E,使AD=DE,連接BE,
∵AD是△ABC的中線,
∴BD=CD,
在△ADC與△EDB中,
,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴EB=AC,
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得:AB-AC<AE<AC+AB,
∴2<AE<10,
∵AE=2AD,
∴,1<AD<5,
即:BC邊上的中線AD的取值范圍1<AD<5;
(2)
延長AD至E,使DE=AD,連接BE.
∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),
∴BD=CD.
∵∠BDE=∠ADC,
∴△ADC≌△EDB.
∴BE=AC=3,DE=AD=2.
∴AE=4.
∵AB=5,且,
∴.
∴△ABE為直角三角形,∠AEB=90°.
∵在Rt△BDE中,∠BED=90°,
∴BD=,
∴BC=2BD=;
(3)
延長ED到點(diǎn)G,使DG=ED,連接CG,FG.
同前法可得△EBD≌△GCD,
∴∠B=∠GCD,BE=CG=4,
又∵∠A=90°,
∴∠B+∠BCA=90°,
∴∠GCD+∠BCA=90°,即∠GCF=90°,
∵CG=4,CF=5,
∴FG===.
∴EF= FG =.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一副撲克牌中取出6張撲克牌,分別是黑桃2、4、6,紅心6、7、8.將撲克牌背面朝上分別放在甲、乙兩張桌面上,先從甲桌面上任意摸出一張黑桃,再從乙桌面上任意摸出一張紅心.
(1)表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)小黃和小石做游戲,制定了兩個游戲規(guī)則:
規(guī)則1:若兩次摸出的撲克牌中,至少有一張是“6”,小黃贏;否則,小石贏.
規(guī)則2:若摸出的紅心牌點(diǎn)數(shù)是黑桃牌點(diǎn)數(shù)的整數(shù)倍時,小黃贏;否則,小石贏.
小黃想要在游戲中獲勝,會選擇哪一條規(guī)則,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知正方形ABCO,A(0,3),點(diǎn)D為x軸上一動點(diǎn),以AD為邊在AD的右側(cè)作等腰Rt△ADE,∠ADE=90°,連接OE,則OE的最小值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn),點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱,點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)P做x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q,交直線BD于點(diǎn)M.
(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)F(0,),當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動時,試求m為何值時,四邊形DMQF是平行四邊形?
(3)點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動過程中,是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn),以為邊作等腰直角三角形,使,點(diǎn)在第一象限。若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,則的面積為( )
A. .B. .C. .D. .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,以為斜邊作,使,的面積記為,則______;再以為斜邊作,使,的面積記為,……,以此類推,則______.(用含的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,G為CD邊中點(diǎn),連接AG并延長,分別交對角線BD于點(diǎn)F,交BC邊延長線于點(diǎn)E.若FG=2,則AE的長度為( )
A. 6B. 8
C. 10D. 12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(2 ,0)和(3 ,0)之間,對稱軸是x=1.對于下列結(jié)論:① ab<0;② 2a+b=0;③ 3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m為實(shí)數(shù));⑤ 當(dāng)-1<x<3時,y>0. 其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B(-3,0)和點(diǎn)C(1,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)M.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,點(diǎn)E為x軸上一動點(diǎn),若△AME的周長最小,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)F為直線AB上一個動點(diǎn),點(diǎn)P為拋物線上一個動點(diǎn),若△BFP為等腰直角三角形,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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