Question

【題目】已知二次函數(shù)：．

（1）求證：二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；

（2）當二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且a為負整數(shù)時，求a的值及二次函數(shù)的解析式并畫出二次函數(shù)的圖象（不用列表，只要求用其與x軸的兩個交點A，B（A在B的左側），與y軸的交點C及其頂點D這四點畫出二次函數(shù)的大致圖象，同時標出A，B，C，D的位置）；

（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在一點P使？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），，函數(shù)圖象如圖所示見解析；（3）存在這樣的點P，點P的坐標為或．

【解析】

（1）1）將解析式右邊因式分解得拋物線與x軸的交點為（2，0）、（，0），結合a＜0即可得證；

（2）根據(jù)題意求出，再求出函數(shù)與x軸的交點，即可作圖；

（3）根據(jù)題意作出圖像，根據(jù)題意分兩種情況討論：①當點P在直線AC上方時，記直線PC與x軸的交點為E，根據(jù)求出，因此，求出，則可求出求得直線CE解析式為，再聯(lián)立兩直線即可求出P點坐標；②當點P在直線AC下方時， 同理求出P的坐標.

（1）∵，且，

∴拋物線與x軸的交點為、，

則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；

（2）∵兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且a為負整數(shù)，

∴，

則拋物線與x軸的交點A的坐標為、B的坐標為，

∴拋物線解析式為

，

當時，，即，

函數(shù)圖象如圖1所示：

（3）存在這樣的點P，

∵，

∴，

如圖2，當點P在直線AC上方時，記直線PC與x軸的交點為E，

∵，

∴，，

則，

∴，

則，

求得直線CE解析式為，

聯(lián)立，

解得或，

∴；

如圖3，當點P在直線AC下方時，記直線PC與x軸的交點為F，

∵，，

∴，

則，

∴，

求得直線PC解析式為，

聯(lián)立，

解得：或，

∴，

綜上，點P的坐標為或．