【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=DC,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),G、H分別是對角線BD、AC的中點(diǎn).
(1)求證:四邊形EGFH是菱形;
(2)若AB=1,則當(dāng)∠ABC+∠DCB=90°時(shí),求四邊形EGFH的面積.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
試題分析:(1)利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的四邊相等,即可證得;
(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證得∠GFH=90°,得到菱形EGFH是正方形,利用三角形的中位線定理求得GE的長,則正方形的面積可以求得.
(1)證明:∵四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn),
∴FG=CD,HE=CD,F(xiàn)H=AB,GE=AB.
∵AB=CD,
∴FG=FH=HE=EG.
∴四邊形EGFH是菱形.
(2)解:∵四邊形ABCD中,G、F、H分別是BD、BC、AC的中點(diǎn),
∴GF∥DC,HF∥AB.
∴∠GFB=∠DCB,∠HFC=∠ABC.
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.
∴∠GFH=90°.
∴菱形EGFH是正方形.
∵AB=1,
∴EG=AB=.
∴正方形EGFH的面積=()2=.
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