Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+3頂點為P，且分別與x軸、y軸交于A、B兩點，點A在點P的右側，tan∠ABO=．

（1）求拋物線的對稱軸和點P的坐標．

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點D，使△ABD為直角三角形？如果存在，求點D的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸是直線x=-2，P點坐標為（﹣2，﹣1）；（2）存在，D1（﹣2，），D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；D4（﹣2，）．

【解析】

試題分析：（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得B點坐標，根據正切函數，可得A點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得拋物線的對稱軸和頂點坐標；（2）根據勾股定理，可得AD2=1+m2，AB2=12+32=10，BD2=4+（m﹣3）2，根據勾股定理的逆定理，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．

試題解析：（1）當x=0時，y=3，即B（0，3）．tan∠ABO===，AO=1，即A點坐標為（﹣1，3）．將A點坐標代入，得1﹣b+3=0，解得b=4．拋物線的解析式為y=x2+4x+3，y=（x+2）2﹣1，即P點坐標為（﹣2，﹣1）；（2）在拋物線的對稱軸上存在這樣的點D，使△ABD為直角三角形．設D點坐標為D（﹣2，m），因為A（﹣1，0），B（0，3）．由勾股定理，得AD2=1+m2，AB2=12+32=10，BD2=4+（m﹣3）2．①當AD2+AB2=BD2時，即1+m2+10=4+（m﹣3）2，解得m=，即D1（﹣2，）；②當AD2+BD2=AB2時，即1+m2+4+（m﹣3）2=10，解得m=2或m=1，即D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；③當AB2+BD2=AD2時，即10+4+（m﹣3）2=1+m2，解得m=，即D4（﹣2，），綜上所述：在拋物線的對稱軸上存在這樣的點D，使△ABD為直角三角形．其坐標為D1（﹣2，），D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；D4（﹣2，）．