Question

【題目】如圖，∠AOB＝20°，點(diǎn)M、N分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠MPQ＝α，∠PQN＝β，當(dāng)MP＋PQ＋QN最小時(shí)，則β－α的值為（ ）

A.19°B.40°C.9°D.29

Answer 1

【答案】B

【解析】

作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，交OA于點(diǎn)Q，交OB于點(diǎn)P，則MP+PQ+QN最小，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及平角的定義可得∠OPM=(180°-α)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠1=110°-α，同樣根據(jù)平角的定義可得∠3=(180°-β)，由對(duì)頂角性質(zhì)可得∠MQP=(180°-β)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，即110°-α+α+(180°-β)=180°，整理即可求得答案.

如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，交OA于點(diǎn)Q，交OB于點(diǎn)P，則MP+PQ+QN最小，

∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，

∴∠OPM=(180°-α)，

∵∠1=∠O+∠OPM，

∴∠1=20°+(180°-α)=110°-α，

∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，

∴∠3=(180°-β)，

∴∠MQP=∠3=(180°-β)，

在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，

即110°-α+α+(180°-β)=180°，

∴β-α=40°，

故選B.