【題目】如圖1,已知拋物線L1:y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,在L1上任取一點P,過點P作直線l⊥x軸,垂足為D,將L1沿直線l翻折得到拋物線L2,交x軸于點M,N(點M在點N的左側(cè)).
(1)當L1與L2重合時,求點P的坐標;
(2)當點P與點B重合時,求此時L2的解析式;并直接寫出L1與L2中,y均隨x的增大而減小時的x的取值范圍;
(3)連接PM,PB,設(shè)點P(m,n),當n= m時,求△PMB的面積.
【答案】(1)P(1,4);(2)x≥5 ;(3)△PMB的面積為或3
【解析】
(1)由配方法可得頂點坐標;
(2)由對稱性求出拋物線L2的頂點,進而得到解析式,由圖象可得;
(3)利用點P在拋物線上和n=m構(gòu)造方程求出m、n,分類討論求△PMB的面積.
(1)由拋物線對稱性,當點P為拋物線L1的頂點時,拋物線L1與L2重合
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
∴點P(1,4)
(2)在拋物線L1中,令y=0,即-x2+2x+3=0
解得x1=-1,x2=3
當點P與點B重合時,此時P(3,0)
∴拋物線L2與拋物線L1關(guān)于直線x=3對稱
∴拋物線L2的頂點為(5,4)
∵由拋物線對稱性可知,拋物線L1和L2開口方向和大小相同.
∴拋物線L2和的解析式為y=-(x-5)2+4=-x2+10x-21
∴結(jié)合圖象可知,當x≥5時,拋物線L1與拋物線L2中,y均隨x的增大而減小
(3)當n=m時,-m2+2m+3=m
解得m1=-,m2=2
∴點P坐標為(-,-)或(2,3)
①如圖1,
當點P坐標為(-,-)時,點D的坐標為坐標為(-,0)
∴DB=3-(-)=
∴MB=2BD=2×=9
∴S△PMB=MBPD=×9×=
②如圖2,
當點P坐標為(2,3)時,點D的坐標為坐標為(2,0)
∴DB=3-2=1
∴MB=2BD=2
∴S△PMB=MBPD=×2×3=3
綜上所述當點n=m時,△PMB的面積為或3.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,△ABC的三個頂點在互相平行的三條直線l1,l2,l3上,且l1,l2之間的距離是1,l2,l3之間的距離是2,則BC的長度為_____.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD平行BC,∠ABC=90°,AD=2,AB=6,以AB為直徑的半⊙O 切CD于點E,F(xiàn)為弧BE上一動點,過F點的直線MN為半⊙O的切線,MN交BC于M,交CD于N,則△MCN的周長為( )
A.9 B.10 C.3 D.2
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【題目】在不透光的布袋里放入標有數(shù)字2,0,﹣3的三張的卡片(形狀與質(zhì)地完全相同).現(xiàn)在隨機地抽出兩張卡片,將兩個數(shù)字分別記作某個點的橫坐標與縱坐標.
(1)從布袋中同時抽取兩張卡片時組成的所有點中,直接寫出“點落入第四象限”概率是 ;
(2)如果抽出第一張卡片記錄數(shù)字后放回布袋,再從袋中抽取第二張卡片記錄數(shù)字后組成一個點,用畫樹狀圖或列表法,求出“點落在坐標軸上”的概率.
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【題目】如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上一動點,由A向C運動(與A、C不重合),Q是CB延長線上一點,與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動(Q不與B重合),過P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.
(1)當∠BQD=30°時,求AP的長;
(2)當運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長;如果變化請說明理由.
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【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,過點D向AB,AC兩邊作垂線,垂足分別為E,F(xiàn),那么下列結(jié)論中不一定正確的是( )
A. BD=CD B. DE=DF C. AE=AF D. ∠ADE=∠ADF
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【題目】2017年9月,我國中小學生迎來了新版“教育部統(tǒng)編義務(wù)教育語文教科書”,本次“統(tǒng)編本”教材最引人關(guān)注的變化之一是強調(diào)對傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作的閱讀,某校對A《三國演義》、B《紅樓夢》、C《西游記》、D《水滸》四大名著開展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作”調(diào)查,隨機調(diào)查了若干名學生(每名學生必選且只能選這四大名著中的一部)并將得到的信息繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
(1)本次一共調(diào)查了 名學生;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)某班語文老師想從這四大名著中隨機選取兩部作為學生暑期必讀書籍,請用樹狀圖或列表的方法求恰好選中《三國演義》和《紅樓夢》的概率.
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【題目】如圖,在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,運點P從點B出發(fā),沿路線BCD作勻速運動,那么△ABP的面積與點P運動的路程之間的函數(shù)圖象大致是( ).
A. B. C. D.
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【題目】如圖,∠AOB=20°,點M、N分別是邊OA、OB上的定點,點P,Q分別是邊OB、OA上的動點,記∠MPQ=α,∠PQN=β,當MP+PQ+QN最小時,則β-α的值為( )
A.19°B.40°C.9°D.29
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