【題目】如圖,點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,以AQ為邊作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ:AB=3:4,作△ABQ的外接圓O.點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè),PC=4,過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)m⊥l,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D,交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E.在射線(xiàn)CD上取點(diǎn)F,使DF= CD,以DE,DF為鄰邊作矩形DEGF.設(shè)AQ=3x.
(1)用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ,DF.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí),若矩形DEGF的面積等于90,求AP的長(zhǎng).
(3)在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, ①當(dāng)AP為何值時(shí),矩形DEGF是正方形?
②作直線(xiàn)BG交⊙O于點(diǎn)N,若BN的弦心距為1,求AP的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出答案).
【答案】
(1)解:在Rt△ABQ中,
∵AQ:AB=3:4,AQ=3x,
∴AB=4x,
∴BQ=5x,
∵OD⊥m,m⊥l,
∴OD∥l,
∵OB=OQ,
∴ =2x,
∴CD=2x,
∴FD= =3x
(2)解:∵AP=AQ=3x,PC=4,
∴CQ=6x+4,
作OM⊥AQ于點(diǎn)M(如圖1),
∴OM∥AB,
∵⊙O是△ABQ的外接圓,∠BAQ=90°,
∴點(diǎn)O是BQ的中點(diǎn),
∴QM=AM= x
∴OD=MC= ,
∴OE= BQ= ,
∴ED=2x+4,
S矩形DEGF=DFDE=3x(2x+4)=90,
解得:x1=﹣5(舍去),x2=3,
∴AP=3x=9
(3)解:①若矩形DEGF是正方形,則ED=DF,
I.點(diǎn)P在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)(如圖1)
∴2x+4=3x,解得:x=4,
∴AP=3x=12;
II.點(diǎn)P在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí),
當(dāng)點(diǎn)C在Q右側(cè),
0<x< 時(shí)(如圖2),
∵ED=4﹣7x,DF=3x,
∴4﹣7x=3x,解得:x= ,
∴AP= ;
當(dāng) ≤x< 時(shí)(如圖3),
∵ED=4﹣7x,DF=3x,
∴4﹣7x=3x,解得:x= (舍去),
當(dāng)點(diǎn)C在Q的左側(cè)時(shí),即x≥ (如圖4),
DE=7x﹣4,DF=3x,
∴7x﹣4=3x,解得:x=1,
∴AP=3,
綜上所述:當(dāng)AP為12或 或3時(shí),矩形DEGF是正方形;
②連接NQ,由點(diǎn)O到BN的弦心距為l,得NQ=2,
當(dāng)點(diǎn)N在AB的左側(cè)時(shí)(如圖5),
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥EG于點(diǎn)M,
∵GM=x,BM=x,
∴∠GBM=45°,
∴BM∥AQ,
∴AI=AB=4x,
∴IQ=x,
∴NQ= =2,
∴x=2 ,
∴AP=6 ;
當(dāng)點(diǎn)N在AB的右側(cè)時(shí)(如圖6),
過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥GE于點(diǎn)J,
∵GJ=x,BJ=4x,
∴tan∠GBJ= ,
∴AI=16x,∴QI=19x,
∴NQ= =2,
∴x= ,
∴AP= ,
綜上所述:AP的長(zhǎng)為6 或 .
【解析】(1)由AQ:AB=3:4,AQ=3x,易得AB=4x,由勾股定理得BQ,再由中位線(xiàn)的性質(zhì)得AH=BH= AB,求得CD,F(xiàn)D;(2)利用(1)的結(jié)論,易得CQ的長(zhǎng),作OM⊥AQ于點(diǎn)M(如圖1),則OM∥AB,由垂徑定理得QM=AM= x,由矩形性質(zhì)得OD=MC,利用矩形面積,求得x,得出結(jié)論;(3)①點(diǎn)P在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)(如圖1),利用(1)(2)的結(jié)論和正方形的性質(zhì)得2x+4=3x,得AP;點(diǎn)P在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí),當(dāng)點(diǎn)C在Q右側(cè),0<x< 時(shí)(如圖2),4﹣7x=3x,解得x,易得AP;當(dāng) 時(shí)(如圖3),7﹣4x=3x,得AP;當(dāng)點(diǎn)C在Q的左側(cè)時(shí),即x≥ (如圖4),同理得AP;②連接NQ,由點(diǎn)O到BN的弦心距為l,得NQ=2,當(dāng)點(diǎn)N在AB的左側(cè)時(shí)(如圖5),過(guò)點(diǎn)B作BM⊥EG于點(diǎn)M,GM=x,BM=x,易得∠GBM=45°,BM∥AQ,易得AI=AB,求得IQ,由NQ得AP;當(dāng)點(diǎn)N在AB的右側(cè)時(shí)(如圖6),過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥GE于點(diǎn)J,由GJ=x,BJ=4x得tan∠GBJ= ,利用(1)(2)中結(jié)論得AI=16x,QI=19x,解得x,得AP.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=4,將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△A1BC1 , 則陰影部分的面積為 .
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【題目】如圖,以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心,經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)且與BC邊交于點(diǎn)E,點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn),連接AD交線(xiàn)段EO于點(diǎn)F,若AB=BF.
(1)求證:AB是⊙O的切線(xiàn);
(2)若CF=4,DF= ,求⊙O的半徑r及sinB.
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【題目】某人的錢(qián)包內(nèi)有10元錢(qián)、20元錢(qián)和50元錢(qián)的紙幣各1張,從中隨機(jī)取出2張紙幣.
(1)求取出紙幣的總額是30元的概率;
(2)求取出紙幣的總額可購(gòu)買(mǎi)一件51元的商品的概率.
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【題目】某公司需招聘一名員工,對(duì)應(yīng)聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個(gè)方面進(jìn)行量化考核.甲、乙、丙各項(xiàng)得分如下表:
筆試 | 面試 | 體能 | |
甲 | 83 | 79 | 90 |
乙 | 85 | 80 | 75 |
丙 | 80 | 90 | 73 |
(1)根據(jù)三項(xiàng)得分的平均分,從高到低確定三名應(yīng)聘者的排名順序.
(2)該公司規(guī)定:筆試,面試、體能得分分別不得低于80分,80分,70分,并按60%,30%,10%的比例計(jì)入總分.根據(jù)規(guī)定,請(qǐng)你說(shuō)明誰(shuí)將被錄用.
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【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線(xiàn)上,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在直線(xiàn)AD的兩側(cè),且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.
(1)求證:四邊形BFCE是平行四邊形;
(2)若AD=10,DC=3,∠EBD=60°,則BE=時(shí),四邊形BFCE是菱形.
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【題目】如圖,點(diǎn)A是雙曲線(xiàn)y= (x>0)上的一點(diǎn),連結(jié)OA,在線(xiàn)段OA上取一點(diǎn)B,作BC⊥x軸于點(diǎn)C,以BC的中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心,作點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′,當(dāng)O′落在這條雙曲線(xiàn)上時(shí), = .
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【題目】為進(jìn)一步緩解城市交通壓力,義烏市政府推出公共自行車(chē),公共自行車(chē)在任何一個(gè)網(wǎng)店都能實(shí)現(xiàn)通租通還,某校學(xué)生小明統(tǒng)計(jì)了周六校門(mén)口停車(chē)網(wǎng)點(diǎn)各時(shí)段的借、還自行車(chē)數(shù),以及停車(chē)點(diǎn)整點(diǎn)時(shí)刻的自行車(chē)總數(shù)(稱(chēng)為存量)情況,表格中x=1時(shí)的y的值表示8:00點(diǎn)時(shí)的存量,x=2時(shí)的y值表示9:00點(diǎn)時(shí)的存量…以此類(lèi)推,他發(fā)現(xiàn)存量y(輛)與x(x為整數(shù))滿(mǎn)足如圖所示的一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系.
時(shí)段 | x | 還車(chē)數(shù) | 借車(chē)數(shù) | 存量y |
7:00﹣8:00 | 1 | 7 | 5 | 15 |
8:00﹣9:00 | 2 | 8 | 7 | n |
… | … | … | … | … |
根據(jù)所給圖表信息,解決下列問(wèn)題:
(1)m= , 解釋m的實(shí)際意義:;
(2)求整點(diǎn)時(shí)刻的自行車(chē)存量y與x之間滿(mǎn)足的二次函數(shù)關(guān)系式;
(3)已知10:00﹣11:00這個(gè)時(shí)段的借車(chē)數(shù)比還車(chē)數(shù)的一半還要多2,求此時(shí)段的借車(chē)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,有一張矩形紙片ABCD,已知AB=10,AD=12,現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作:現(xiàn)將紙片沿折痕BF進(jìn)行折疊,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處,點(diǎn)F在AD上(如圖2);然后將紙片沿折痕DH進(jìn)行第二次折疊,使點(diǎn)C落在第一次的折痕BF上的點(diǎn)G處,點(diǎn)H在BC上(如圖3),給出四個(gè)結(jié)論:
①AF的長(zhǎng)為10;②△BGH的周長(zhǎng)為18;③ = ;④GH的長(zhǎng)為5,
其中正確的結(jié)論有 . (寫(xiě)出所有正確結(jié)論的番號(hào))
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