【題目】如圖,以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心,經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)且與BC邊交于點(diǎn)E,點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn),連接AD交線段EO于點(diǎn)F,若AB=BF.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若CF=4,DF= ,求⊙O的半徑r及sinB.
【答案】
(1)證明:連接OA、OD,如圖,
∵點(diǎn)D為CE的下半圓弧的中點(diǎn),
∴OD⊥BC,
∴∠EOD=90°,
∵AB=BF,OA=OD,
∴∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,
而∠BFA=∠OFD,
∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°,即∠OAB=90°,
∴OA⊥AB,
∴AB是⊙O切線
(2)解:OF=CF﹣OC=4﹣r,OD=r,DF= ,
在Rt△DOF中,OD2+OF2=DF2,即r2+(4﹣r)2=( )2,
解得r1=3,r2=1(舍去);
∴半徑r=3,
∴OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.
在Rt△AOB中,AB2+OA2=OB2,
∴AB2+32=(AB+1)2,
∴AB=4,OB=5,
∴sinB= = .
【解析】(1)連接OA、OD,如圖,根據(jù)垂徑定理得OD⊥BC,則∠D+∠OFD=90°,再由AB=BF,OA=OD得到∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,加上∠BFA=∠OFD,所以∠OAD+∠BAF=90°,則OA⊥AB,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AB是⊙O切線;(2)先表示出OF=4﹣r,OD=r,在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+(4﹣r)2=( )2 , 解方程得到r的值,那么OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2 , 即AB2+32=(AB+1)2 , 解方程得到AB=4的值,再根據(jù)三角函數(shù)定義求出sinB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把 個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接成一排,求得 , , ,計(jì)算 , ……按此規(guī)律,寫出 (用含 的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖所示,直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A,分別過(guò)正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F,DE⊥a于點(diǎn)E,若DE=8,BF=5,則EF的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A是∠MON邊OM上一點(diǎn),AE∥ON.
(1)在圖中作∠MON的角平分線OB,交AE于點(diǎn)B;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
(2)在(1)中,過(guò)點(diǎn)A畫OB的垂線,垂足為點(diǎn)D,交ON于點(diǎn)C,連接CB,將圖形補(bǔ)充完整,并證明四邊形OABC是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),弦AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)E,AB=10,AD=8,則AE的長(zhǎng)為
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【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組開展動(dòng)手操作活動(dòng),設(shè)計(jì)了如圖所示的三種圖形,現(xiàn)計(jì)劃用鐵絲按照?qǐng)D形制作相應(yīng)的造型,則所用鐵絲的長(zhǎng)度關(guān)系是( )
A.甲種方案所用鐵絲最長(zhǎng)
B.乙種方案所用鐵絲最長(zhǎng)
C.丙種方案所用鐵絲最長(zhǎng)
D.三種方案所用鐵絲一樣長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線l上,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q,以AQ為邊作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ:AB=3:4,作△ABQ的外接圓O.點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè),PC=4,過(guò)點(diǎn)C作直線m⊥l,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D,交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E.在射線CD上取點(diǎn)F,使DF= CD,以DE,DF為鄰邊作矩形DEGF.設(shè)AQ=3x.
(1)用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ,DF.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí),若矩形DEGF的面積等于90,求AP的長(zhǎng).
(3)在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, ①當(dāng)AP為何值時(shí),矩形DEGF是正方形?
②作直線BG交⊙O于點(diǎn)N,若BN的弦心距為1,求AP的長(zhǎng)(直接寫出答案).
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【題目】甲從M地騎摩托車勻速前往N地,同時(shí)乙從N地沿同一條公路騎自行車勻速前往M地,甲到達(dá)N地后,原路原速返回,追上乙后返回到M地.設(shè)甲、乙與N地的距離分別為y1、y2千米,甲與乙之間的距離為s千米,設(shè)乙行走的時(shí)間為x小時(shí).y1、y2與x之間的函數(shù)圖象如圖1.
(1)分別求出y1、y2與x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求s與x的函數(shù)表達(dá)式,并在圖2中畫出函數(shù)圖象;
(3)當(dāng)兩人之間的距離不超過(guò)5千米時(shí),能夠用無(wú)線對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系.并且規(guī)定:持續(xù)聯(lián)系時(shí)間不少于15分鐘為有效聯(lián)系時(shí)間.求當(dāng)兩人用無(wú)線對(duì)講機(jī)保持有效聯(lián)系時(shí),x的取值范圍.
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