Question

【題目】如圖，將□ABCD的邊DC延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使得CE=DC，連結(jié)AE,AC,BE,且AE交BC于點(diǎn)F.

（1）求證：AE與BC互相平分；

（2）若∠AFC=2∠D，AD=10.

①求證：四邊形ABEC是矩形；

②連結(jié)FD,則線段FD的長(zhǎng)度的取值范圍為____.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②5<FD<15.

【解析】

（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，易證AB∥CD，AB=CD，再由CE=CD，可證AB=CE，再利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形ABEC是平行四邊形，然后利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可證得結(jié)論.

（2）①利用平行四邊形的對(duì)角相等，可證∠D=∠ABC，再利用三角形外角的性質(zhì)及∠AFC=2∠D，易證∠AFC=2∠ABC=∠ABC+∠BAF，就可推出∠ABC=∠BAF，利用等角對(duì)等邊，可知FA=FB ，就可證得平行四邊形ABEC的對(duì)角線相等，即可證得結(jié)論；②由平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可求出AF的長(zhǎng)，再利用三角形的三邊關(guān)系定理就可求出DF的取值范圍.

（1）證明：∵平行四邊形ABCD

∴AB∥CD,AB=CD,CD=CE

∴AB∥CE,AB=CE

∴得□ABEC

∴AE與BC互相平分

（2）①∵∠D=∠ABC，∠AFC=2∠D

∴∠AFC=2∠ABC

∵∠ABC+∠BAF=∠AFC

∴ ∠ABC=∠BAF

∴ FA=FB

∴ AE=BC

∴四邊形ABEC是矩形.

②連接DF

∵平行四邊形ABCD

∴BC=AD=10

∵矩形ABEC

∴AF=BF=10÷2=5

在△AFD中，AD-AF＜DF＜AD+AF

∴10-5＜DF＜10+5

即5＜DF＜15