Question

【題目】（閱讀）：數(shù)學(xué)中，常對(duì)同一個(gè)量（圖形的面積、點(diǎn)的個(gè)數(shù)、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計(jì)算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學(xué)思想．

（理解）：（1）如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為、、的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成一個(gè)梯形．用兩種不同的方法計(jì)算梯形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）如圖2，行列的棋子排成一個(gè)正方形，用兩種不同的方法計(jì)算棋子的個(gè)數(shù)，可得等式：________；

（運(yùn)用）：（3）邊形有個(gè)頂點(diǎn)，在它的內(nèi)部再畫個(gè)點(diǎn)，以（）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，把邊形剪成若干個(gè)三角形，設(shè)最多可以剪得個(gè)這樣的三角形．當(dāng)，時(shí)，如圖，最多可以剪得個(gè)這樣的三角形，所以．

①當(dāng)，時(shí)，如圖，　 　；當(dāng)，　 　時(shí)，；

②對(duì)于一般的情形，在邊形內(nèi)畫個(gè)點(diǎn)，通過歸納猜想，可得　 　（用含、的代數(shù)式表示）．請(qǐng)對(duì)同一個(gè)量用算兩次的方法說明你的猜想成立．

Answer 1

【答案】（1）見解析，故結(jié)論為：直角長(zhǎng)分別為、斜邊為的直角三角形中；（2）；（3）①6，3；②，見解析.

【解析】

（1）此等腰梯形的面積有三部分組成，利用等腰梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和列出方程并整理．

（2）由圖可知行列的棋子排成一個(gè)正方形棋子個(gè)數(shù)為，每層棋子分別為，，，，…，．故可得用兩種不同的方法計(jì)算棋子的個(gè)數(shù)，即可解答．

（3）根據(jù)探畫出圖形究不難發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)部每增加一個(gè)點(diǎn)，分割部分增加部分，即可得出結(jié)論．

（1）有三個(gè)其面積分別為，和．

直角梯形的面積為．

由圖形可知：

整理得，，

．

故結(jié)論為：直角長(zhǎng)分別為、斜邊為的直角三角形中．

（2）行列的棋子排成一個(gè)正方形棋子個(gè)數(shù)為，每層棋子分別為，，，，…，．

由圖形可知：．

故答案為：．

（3）①如圖，當(dāng)，時(shí)，，

如圖，當(dāng)，時(shí)，．

②方法1．對(duì)于一般的情形，在邊形內(nèi)畫個(gè)點(diǎn)，第一個(gè)點(diǎn)將多邊形分成了個(gè)三角形，以后三角形

內(nèi)部每增加一個(gè)點(diǎn)，分割部分增加部分，故可得．

方法2．以的二個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個(gè)點(diǎn)，共（）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把分割成個(gè)互不重疊的小三角形．以四邊形的個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個(gè)點(diǎn)，共（）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把四邊形分割成個(gè)互不重疊的小三角形．故以邊形的個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的個(gè)點(diǎn)，共（）個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成個(gè)互不重疊的小三角形．故可得．

故答案為：①，；②．