【題目】點(diǎn)C為線段上一點(diǎn),以為斜邊作等腰,連接,在外側(cè),以為斜邊作等腰,連接

1)如圖1,當(dāng)時(shí):

①求證:;

②判斷線段的數(shù)量關(guān)系,并證明;

2)如圖2,當(dāng)時(shí),的數(shù)量關(guān)系是否保持不變?

對于以上問題,小牧同學(xué)通過觀察、實(shí)驗(yàn),形成了解決該問題的幾種思路:

想法1:嘗試將點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,過點(diǎn)D作線段垂線,交延長線于點(diǎn)G,連接;通過證明解決以上問題;

想法2:嘗試將點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心,過點(diǎn)D作線段垂線,垂足為點(diǎn)G,連接.通過證明解決以上問題;

想法3:嘗試?yán)盟狞c(diǎn)共圓,過點(diǎn)D垂線段,連接,通過證明DF、BE四點(diǎn)共圓,利用圓的相關(guān)知識解決以上問題.

請你參考上面的想法,證明(一種方法即可).

【答案】1)①證明見解析;②,證明見解析;(2)證明見解析.

【解析】

1)①如圖(見解析),先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出,再根據(jù)等腰三角形的三線合一得出是斜邊AC上的中線,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì),最后根據(jù)等量代換即可得證;

②先結(jié)合①的結(jié)論、等腰直角三角形的性質(zhì),,再根據(jù)角的和差、直角三角形的性質(zhì)得出,然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得出,由此即可證出;

2)想法1:先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角的和差得出,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得,從而可得,最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證;

想法2:先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、角的和差得出,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出,從而可得平分,然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得的垂直平分線,最后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等量代換即可得證;

想法3:先根據(jù)垂直的定義、等腰直角三角形的定義得出,,從而可得,由此可證出D、FB、E四點(diǎn)共圓,再根據(jù)圓周角定理可得,然后同想法2的方法即可得證.

1)①過點(diǎn)DF

是等腰三角形

是斜邊AC上的中線(等腰三角形的三線合一)

;

,證明如下:

等腰與等腰

,,

是等邊三角形

;

2)想法1:如圖,過點(diǎn)D作線段垂線,交延長線于點(diǎn)G,連接

是等腰直角三角形

,

,即

是等腰直角三角形

,即

中,

是直角三角形

點(diǎn)EBG的中點(diǎn),即CE是斜邊BG上的中線

;

想法2:如圖,過點(diǎn)D作線段垂線,垂足為點(diǎn)G,連接

是等腰直角三角形

,

是等腰直角三角形

,即

是等腰直角三角形

,,即

中,

平分

是等腰直角三角形

的垂直平分線(等腰三角形的三線合一)

;

想法3:如圖,過點(diǎn)D垂線段,連接

是等腰直角三角形

,

D、F、BE四點(diǎn)共圓

同想法2可證:的垂直平分線

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市在黨中央實(shí)施精準(zhǔn)扶貧政策的號召下,大力開展科技扶貧工作,幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司,某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件,該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y(萬元)與年產(chǎn)量x(萬件)之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖①所示);該產(chǎn)品的銷售單價(jià)z(元/件)與年銷售量x(萬件)之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段,生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完,達(dá)到產(chǎn)銷平衡,所獲毛利潤為w萬元.(毛利潤=銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用)

(1)請直接寫出yx以及zx之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求wx之間的函數(shù)關(guān)系式;并求年產(chǎn)量多少萬件時(shí),所獲毛利潤最大?最大毛利潤是多少?

(3)由于受資金的影響,今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會超過360萬元,今年最多可獲得多少萬元的毛利潤?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為:“一切平面圖形中最美的是圓”.請研究如下美麗的圓.如圖,線段AB是⊙O的直徑,延長AB至點(diǎn)C,使BCOB,點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn),DEAB交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)P是⊙O上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),連接CD,PE,PC

1)求證:CD是⊙O的切線;

2)小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個(gè)確定的值.回答這個(gè)確定的值是多少?并對小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】教育未來指數(shù)是為了評估教育系統(tǒng)在培養(yǎng)學(xué)生如何應(yīng)對快速多變的未來社會方面所呈現(xiàn)的效果.現(xiàn)對教育未來指數(shù)得分前35名的國家和地區(qū)的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析后,給出了部分信息.

a.教育未來指數(shù)得分的頻數(shù)分布直方圖(數(shù)據(jù)分成7組:,,,);

b.教育未來指數(shù)得分在這一組的是:61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5

c35個(gè)國家和地區(qū)的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖如下:



d.中國和中國香港的教育未來指數(shù)得分分別為32.968.5

(以上數(shù)據(jù)來源于《國際統(tǒng)計(jì)年鑒(2018)》和國際在線網(wǎng))

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

1)中國香港的教育未來指數(shù)得分排名世界第______

2)在35個(gè)國家和地區(qū)的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖中,包括中國香港在內(nèi)的少數(shù)幾個(gè)國家和地區(qū)所對應(yīng)的點(diǎn)位于虛線l的上方,請?jiān)趫D中用“○”畫出代表中國香港的點(diǎn);

3)在教育未來指數(shù)得分比中國高的國家和地區(qū)中,人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的最大值約為_____萬美元;(結(jié)果保留一位小數(shù))

4)下列推斷合理的是__________.(只填序號即可)

①相較于點(diǎn)所代表的國家和地區(qū),中國的教育未來指數(shù)得分還有一定差距,十三五規(guī)劃提出教育優(yōu)先發(fā)展,教育強(qiáng)則國家強(qiáng)的任務(wù),進(jìn)一步提高國家教育水平;

②相較于點(diǎn)所代表的國家和地區(qū),中國的人均國內(nèi)生產(chǎn)總值還有一定差距,中國提出決勝全面建成小康社會的奮斗目標(biāo),進(jìn)一步提高人均國內(nèi)生產(chǎn)總值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面是“作一個(gè)角”的尺規(guī)作圖過程.

已知:平面內(nèi)一點(diǎn)A

求作:,使得

作法:如圖,

1)作射線

2)在射線取一點(diǎn)O,以O為圓心,為半徑作圓,與射線相交于點(diǎn)C;

3)以C為圓心,C為半徑作弧,與交于點(diǎn)D,作射線

即為所求的角.

請回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是_________________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面是小文設(shè)計(jì)的過圓外一點(diǎn)作圓的切線的作圖過程.已知:和圓外一點(diǎn).求作:過點(diǎn)的切線.作法:連接;為直徑作,交于點(diǎn);作直線;所以直線,的切線.

根據(jù)小文設(shè)計(jì)的作圖過程,完成下面的證明.

證明:連接

的直徑,

=∠________=________

________)(填推理的依據(jù)).

,________

,的半徑,

直線,的切線(________)(填推理的依據(jù)).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知⊙O的半徑是2,點(diǎn)AB、C在⊙O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分面積為( 。

A.π2B.πC.π2D.π

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=2,∠B=30°,△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<120°)得到,BC,AC分別交于點(diǎn)DE.設(shè),的面積為,則的函數(shù)圖象大致為( )

A.B.C.D.

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【題目】如圖,拋物線軸交于兩點(diǎn),是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上的動點(diǎn),是線段的中點(diǎn),連接,則線段的最小值是( )

A.B.C.D.

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