【題目】如圖,拋物線y1=2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B,交y軸于點(diǎn)C(0,﹣2),且拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=﹣2交x軸于點(diǎn)D,E是拋物線在第3象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線y1的解析式;

(2)將△OCD沿CD翻折后,O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′是否在拋物線y1上?請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)若點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′恰好落在x軸上,過(guò)E′作x軸的垂線交拋物線y1于點(diǎn)F,①求點(diǎn)F的坐標(biāo);②直線CD上是否存在點(diǎn)P,使|PE﹣PF|最大?若存在,試寫(xiě)出|PE﹣PF|最大值.

【答案】(1)拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;(2)O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′不在拋物線y1上,理由見(jiàn)解析;(3)①F(2,6﹣2);②直線CD上存在點(diǎn)P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2

【解析】試題分析:(1)先由拋物線對(duì)稱(chēng)軸方程可求出b=2,再把點(diǎn)C0,﹣2)代入y1=x2+bx+c可得c=2,所以?huà)佄锞解析式為y1=x2+2x﹣2

2)過(guò)O′點(diǎn)作O′Hx軸于H,如圖1,由(1)得D﹣2,0),C0,2),在RtOCD中利用三角函數(shù)可計(jì)算出ODC=60°,再利用折疊的性質(zhì)得O′D=OD=2,O′DC=ODC=60°,所以O′DH=60°,接著在RtO′DH中利用三角函數(shù)可計(jì)算出O′H=,利用勾股定理計(jì)算出DH=1,則O′﹣3,),然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷O′點(diǎn)是否在拋物線y1上;

3利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)Em, m2+2m﹣2)(m0),過(guò)EEHx軸于H,連結(jié)DE,如圖2,則DH=﹣2﹣m,EH=﹣m2﹣2m+2,由(2)得ODC=60°,再利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得DC平分EDE′DE=DE′,則EDE′=120°,所以EDH=60°,于是在RtEDH中利用三角函數(shù)的定義可得m2﹣2m+2=﹣2﹣m,解得m1=2(舍去),m2=﹣4,則E﹣4,﹣2),接著計(jì)算出DE=4,所以DE′=4,于是得到E′2,0),然后計(jì)算x=2時(shí)得函數(shù)值即可得到F點(diǎn)坐標(biāo);

由于點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′恰好落在x軸,則PE=PE′,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得|PE′﹣PF|≤E′F(當(dāng)點(diǎn)P、E′F共線時(shí),取等號(hào)),于是可判斷直線CD上存在點(diǎn)P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2

試題解析:(1拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=﹣2

=﹣2,

解得b=2,

點(diǎn)C0,﹣2)在拋物線y1=x2+bx+c上,

c=2,

拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;

2O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′不在拋物線y1上.理由如下:

過(guò)O′點(diǎn)作O′Hx軸于H,如圖1,由(1)得D﹣20),C02),

RtOCD中,OD=2,OC=,

tanODC==

∴∠ODC=60°,

∵△OCD沿CD翻折后,O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′

∴O′D=OD=2,∠O′DC=∠ODC=60°,

∴∠O′DH=60°

RtO′DH中,sinO′DH=

O′H=2sin60°=,

DH==1,

O′﹣3),

當(dāng)x=﹣3時(shí),y1=x2+2x﹣2=×9+2×﹣3﹣2≠﹣

∴O′點(diǎn)不在拋物線y1上;

3設(shè)Em, m2+2m﹣2)(m0),

過(guò)EEHx軸于H,連結(jié)DE,如圖2,則DH=﹣2﹣mEH=﹣m2+2m﹣2=﹣m2﹣2m+2,

由(2)得∠ODC=60°,

點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′恰好落在x軸上,

∴DC垂直平分EE′,

∴DC平分∠EDE′DE=DE′,

∴∠EDE′=120°

∴∠EDH=60°,

RtEDH中,tanEDH=,

EH=HDtan60°,即m2﹣2m+2=﹣2﹣m,

整理得m2+4+2m﹣8=0,解得m1=2(舍去),m2=﹣4,

E﹣4﹣2),

HD=2,EH=2

DE==4,

∴DE′=4,

∴E′2,0),

E′F⊥x軸,

∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,

當(dāng)x=2時(shí),y1=x2+2x﹣2=6﹣2,

F26﹣2);

②∵點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′恰好落在x軸,

∴PE=PE′

∴|PE′﹣PF|≤E′F(當(dāng)點(diǎn)P、E′F共線時(shí),取等號(hào)),

直線CD上存在點(diǎn)P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在 Rt ABC 中,∠ ACB 90 °,過(guò)點(diǎn) C 的直線 MN AB D AB 邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn) D DE BC ,交直線 MN E ,垂足為 F ,連接 CD 、 BE .(1)求證: CE AD ;(2)當(dāng) D AB 中點(diǎn)時(shí),四邊形 BECD 是什么特殊四邊形?說(shuō)明你的理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校學(xué)生會(huì)文藝部換屆選舉經(jīng)初選、復(fù)選后共有 甲、乙、丙三人進(jìn)入最后的競(jìng)選最后決定利用投票方式對(duì)三人進(jìn)行選舉,共發(fā)出1800張選票得票數(shù)最高者為當(dāng)選人,且廢票不計(jì)入任何一位候選人的得票數(shù)內(nèi)全校設(shè)有四個(gè)投票箱,目前第一、第二、第三投票箱已開(kāi)完所有選票剩下第四投票箱尚未開(kāi)箱,結(jié)果如表所示單位下列判斷正確的是( )

A. 甲可能當(dāng)選 B. 乙可能當(dāng)選 C. 丙一定當(dāng)選 D. 甲、乙、丙三人都可能當(dāng)選

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某種計(jì)時(shí)香篆000時(shí)刻點(diǎn)燃,若香篆剩余的長(zhǎng)度hcm)與燃燒的時(shí)間xh)之間是一次函數(shù)關(guān)系,hx的一組對(duì)應(yīng)數(shù)值如表所示:

燃燒的時(shí)間xh

3

4

5

6

剩余的長(zhǎng)度hcm

210

200

190

180

1)寫(xiě)出香篆000時(shí)刻點(diǎn)然后,其剩余的長(zhǎng)度hcm)與燃燒時(shí)間xh)的函數(shù)關(guān)系式,并解釋函數(shù)表達(dá)式中x的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的實(shí)際意義;

2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明當(dāng)香篆剩余的長(zhǎng)度為125cm時(shí)的時(shí)刻.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N,點(diǎn)PAB的延長(zhǎng)線上,且∠CAB=2∠BCP.

(1)求證:直線CP是⊙O的切線;

(2)若BC=2,sin∠BCP=,求⊙O的半徑及△ACP的周長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知在數(shù)軸上 A,B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為﹣4,20

1)若 P 點(diǎn)為線段 AB 的中點(diǎn),求 P 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).

2)若點(diǎn) A、點(diǎn) B 同時(shí)分別以 2 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度相向運(yùn)動(dòng),點(diǎn) MM 點(diǎn)在原點(diǎn))同時(shí)以 4 個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng).幾秒后點(diǎn) M 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離相等?求此時(shí) M 對(duì)應(yīng)的數(shù).

3)在(2)的條件下,是否存在 M 點(diǎn),使 3MA=2MB?若存在,求出點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CDABD,BE:AB=3:5,若CE=,cosACD=

(1)求cosABC;

(2)AC的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在,,垂足為,點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接于點(diǎn).

1)請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全示意圖;

2)當(dāng)全等時(shí),

①若,,,求的度數(shù);

②試探究,,之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一次函數(shù)y=﹣kx+k與反比例函數(shù)y=﹣(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是( 。

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案