Question

運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法．
（1）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC邊上的高為h，M是底邊BC上的任意一點，點M到腰AB、AC的距離分別為h₁、h₂．請用面積法證明：h₁+h₂=h；

（2）當點M在BC延長線上時，h₁、h₂、h之間的等量關系式是______；（直接寫出結論不必證明）
（3）如圖2在平面直角坐標系中有兩條直線l₁：y=x+3、l₂：y=-3x+3，若l₂上的一點M到l₁的距離是1，請運用（1）、（2）的結論求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM兩個三角形，根據(jù)三角形的面積公式底乘以高除以2分別求解，再根據(jù)S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC整理即可得到h₁+h₂=h．
（2）根據(jù)（1）的方法，利用三角形面積的關系求解即可；
（3）先根據(jù)直線關系式求出A、B、C三點的坐標利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，再分點M在線段BC上和CB的延長線上兩種情況討論求解．
解答：解：（1）∵S_△ABC=S_△ABM+S_△AMC，S_△ABM=×AB×ME=×AB×h₁，S_△AMC=×AC×MF=×AC×h₂，
又∵S_△ABC=×AC×BD=×AC×hAB=AC，
∴×AC×h=×AB×h₁+×AC×h₂，
∴h₁+h₂=h．

（2）h₁-h₂=h．

（3）在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，則：
A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），
AB==5，AC=5，
所以AB=AC，即△ABC為等腰三角形．
①當點M在BC邊上時，由h₁+h₂=h得：
1+M_y=OB，M_y=3-1=2，把它代入y=-3x+3中求得：M_x=，
∴M（，2）；
②當點M在CB延長線上時，由h₁-h₂=h得：M_y-1=OB，M_y=3+1=4，
把它代入y=-3x+3中求得：M_x=-，
∴M（-，4），
∴點M的坐標為（，2）或（，4）．
點評：解答本題的關鍵在于利用等腰三角形兩邊相等的性質和三角形面積的關系，利用面積求解在幾何解答題中經(jīng)常用到，同學們在答題時一定要靈活運用．