Question

【題目】如圖，在中，，為的中點，過點作垂直于點，交的延長線于點．為中點，交于，為邊上一點，連接，且．

(1)若，求的長度；

(2)求證：．

Answer 1

【答案】（1）HG=2；（2）證明見解析．

【解析】

（1）利用ASA證明△AFC≌△CBG，從而可得CG=AF=3，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CH=5，再根據(jù)HG=CH-CG即可得答案；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得CH⊥AB，繼而證得CH∥AD，得到BG=DG，再根據(jù)AE=CE證明△ADE與△CGE全等，從而得到DE=FG，進而則可得到結(jié)論．

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

又∵H為AB的中點，AB=10，

∴∠BCG=∠ACB=45°，CH=AB==5，

∴∠BCG=∠CAF，

又∵AC=CB，∠ACF=∠CBG，

∴△ACF≌△CBG（ASA），

∴CG=AF=3，

∴HG=CH-CG=5-3=2；

（2）∵AC=BC，H為AB的中點，

∴CH⊥AB，

又∵AD⊥AB，

∴AD//CH，

∴GH是△BAD的的中位線，

∴BG=DG，

∵AD//CH，

∴∠DAE=∠GCE，∠D=∠∠CGE，

又∵AE=CE，

∴△ADE≌△CGE（AAS），

∴DE=GE，

∴DG=DE+EG=2EG，

∵△ACF≌△CBG，

∴CF=BG，

∴CF=2EG．