Question

【題目】教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容．

請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．

定理應(yīng)用：

（1）如圖②，在中，直線分別是邊AB、BC、AC的垂直平分線．求證：直線交于點(diǎn)．

（2）如圖③，在中，，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D、邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E．若，，則DE的長(zhǎng)為___________．

Answer 1

【答案】教材呈現(xiàn)：證明見解析；定理應(yīng)用：（1）證明見解析；（2）6．

【解析】

教材呈現(xiàn)：如圖①中，證明△PAC≌△PBC即可解決問題；

定理應(yīng)用：（1）如圖②中，連結(jié)AO、BO、CO．利用線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)解決問題即可；

（2）連接BD，BE，證明△BDE是等邊三角形即可．

教材呈現(xiàn)：

∵MN⊥AB，

∴

又∵，

∴△PAC≌△PBC，

∴

定理應(yīng)用：

（1）連結(jié)AO、BO、CO．

設(shè)直線l、m交于點(diǎn)O．

∵直線l是邊AB的垂直平分線，

∴

又∵直線m是邊BC的垂直平分線，

∴，

∴，

∴點(diǎn)O在邊AC的垂直平分線n上，

∴直線l、m、n交于點(diǎn)O．

（2）如圖③中，連接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°，

∴∠A＝∠C＝30°，

∵邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，

∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，

∴△BDE是等邊三角形，

∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，

∵AC＝18＝AD+DE+EC＝3DE，

∴DE＝6，

故答案為：6．