Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)BP=x，問當(dāng)x為何值時(shí)△PCQ的面積最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AE⊥BC，根據(jù)題意可知BE的長(zhǎng)度，再根據(jù)∠B的正弦值，即可推出AB的長(zhǎng)度；
（2）作QF⊥BC，根據(jù)題意推出BP=CQ，推出CP關(guān)于x的表達(dá)式，然后根據(jù)∠C的正弦值推出高QF關(guān)于x的表達(dá)式，即可推出面積關(guān)于x的二次函數(shù)式，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值即可推出x的值；
（3）首先假設(shè)存在M點(diǎn)，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)推出，若存在，則PC=QC，9-x=x，x=，得出矛盾，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的，故AB上不存在M點(diǎn)．
解答：解：（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，
∴BE=（BC-AD）÷2=2.5，
∵∠B=45°，
∴AB=；

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B=∠C=45°，則△CQF是等腰直角三角形．
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，BP=x，
∴BP=CQ=x，
∵BC=9，
∴CP=9-x，QF=，
設(shè)△PQC的面積為y，
∴y=（9-x）•，
即y==-+，
∵AB=，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．BP=x，
∴0＜x≤＜，
∴當(dāng)x=時(shí)，△PQC的面積最大，最大值為：
S=PC•QF=（9-）×
=-；

（3）不存在，
若存在，則PC=QC，
∴9-x=x，
∴x=，
而＞，
∴邊AB上不存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)的最值、內(nèi)角和定理、菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形畫出相應(yīng)的輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理即可．