Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在AC上方的拋物線上有一動點(diǎn)P．

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到某位置時(shí)，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②如圖2，過點(diǎn)O，P的直線y=kx交AC于點(diǎn)E，若PE：OE=3：8，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）①；②．

【解析】試題分析：（1）∵直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)是（0，4），又∵拋物線過A，C兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為．

（2）①如圖1∵，∴拋物線的對稱軸是直線x=﹣1． ∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上，∴PQ∥AO，PQ=AO=4．∵P，Q都在拋物線上，∴P，Q關(guān)于直線x=﹣1對稱，∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣3，∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是；

②過P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F，∵PF∥OC，∴△PEF∽△OEC，∴．又∵，∴，設(shè)點(diǎn)F（x，x+4），∴，化簡得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．當(dāng)x=﹣1時(shí)，；當(dāng)x=﹣3時(shí)，，即P點(diǎn)坐標(biāo)是或．又∵點(diǎn)P在直線y=kx上，∴．