【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的高,E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分別為F,G.
(1)求證:;
(2)FD與DG是否垂直?若垂直,請(qǐng)給出證明;若不垂直,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)的值為多少時(shí),△FDG為等腰直角三角形?
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)FD與DG垂直,理由見(jiàn)解析;(3)當(dāng)時(shí),△FDG為等腰直角三角形,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由比例線段可知,我們需要證明△ADC∽△EGC,由兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等即可證得;
(2)由矩形的判定定理可知,四邊形AFEG為矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD,從而不難得到結(jié)論;
(3)先判斷出DF=DG,再利用同角的余角相等判斷出∠ADF=∠CDG,∠BAD=∠C,得出△ADF≌△CDG,即可得出結(jié)論.
(1)證明:在△ADC和△EGC中,
∵∠ADC=∠EGC,∠C=∠C,
∴△ADC∽△EGC.
∴.
(2)解:FD與DG垂直.
理由如下:
在四邊形AFEG中,
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°,
∴四邊形AFEG為矩形.
∴AF=EG.
∵,
∴.
又∵△ABC為直角三角形,AD⊥BC,
∴∠FAD=∠C=90°﹣∠DAC,
∴△AFD∽△CGD.
∴∠ADF=∠CDG.
∵∠CDG+∠ADG=90°,
∴∠ADF+∠ADG=90°.
即∠FDG=90°.
∴FD⊥DG.
(3)解:當(dāng)的值為1時(shí),△FDG為等腰直角三角形,理由如下:
由(2)知,∠FDG=90°,
∵△DFG為等腰直角三角形,
∴DF=DG,
∵AD是BC邊上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADG+∠CDG=90°,
∵∠FDG=90°,
∴∠ADG+∠ADF=90°,
∴∠ADF=∠CDG,
∵∠CAD+∠BAD=90°,∠C+∠CAD=90°,
∴∠BAD=∠C,
∴△ADF≌△CDG(AAS),
∴AD=CD,
∵∠ADC=90°,
∴∠C=45°=∠B,
∴AB=AC,
即:當(dāng)的值為1時(shí),△FDG為等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種每件價(jià)格為90元的新商品,在商場(chǎng)試銷(xiāo)時(shí)發(fā)現(xiàn):銷(xiāo)售單價(jià)元件與每天銷(xiāo)售量件之間滿(mǎn)足如圖所示的關(guān)系.
求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
寫(xiě)出每天的利潤(rùn)W與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出售價(jià)定為多少時(shí),每天獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸、y軸的正半軸上(OA<OB).且OA、OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個(gè)根,線段AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)D,點(diǎn)P是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求線段AB的長(zhǎng)度:
(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PF⊥OA于F,PE⊥OB于E,點(diǎn)P在移動(dòng)過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度也在改變,請(qǐng)求出線段EF的最小值:
(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M,使以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,且該正方形的邊長(zhǎng)為AB長(zhǎng)?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD邊長(zhǎng)為6,∠BAD=120°,點(diǎn)E、F分別在AB、AD上且BE=AF,則EF的最小值為_____,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,分別以AB,AC為斜邊作Rt△ABD和Rt△ACE,∠ADB=∠AEC=90°,∠ABD=∠ACE=30°,連接DE.若DE=5,則BC長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)分別為(0,1)、(0,5)、(3,0),D是平面內(nèi)一點(diǎn),且∠ADB=45°,則線段CD的最大值是__________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的口袋中裝有4張卡片,分別印有數(shù)字1、2、3、6,這4張卡片除印有的數(shù)字不同外,其余都相同.
(1)攪勻后從中任意摸出1張卡片,摸到印有奇數(shù)卡片的概率為_______;
(2)攪勻后從中任意摸出1張卡片,將該卡片印有的數(shù)字記為,再?gòu)氖S?/span>3張卡片中任意摸出1張卡片,將該卡片印有的數(shù)字記為,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)問(wèn)題 :如圖1,在四邊形中,點(diǎn)為上一點(diǎn),∠=∠=∠=90°,求證:.
(2)探究:如圖2,在四邊形中,點(diǎn)為上一點(diǎn),當(dāng)∠=∠=∠時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中, ,以邊的中點(diǎn)為圓心,作半圓與相切,點(diǎn)分別是邊和半圓上的動(dòng)點(diǎn),連接,則長(zhǎng)的最大值與最小值的和是( )
A.B.C.D.
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