Question

【題目】定義：點P是△ABC內部或邊上的點（頂點除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一個三角形與△ABC相似，則稱點P是△ABC的自相似點.
例如：如圖1，點P在△ABC的內部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點P是△ABC的自相似點.
請你運用所學知識，結合上述材料，解決下列問題：
在平面直角坐標系中，點M是曲線y= （x＞0）上的任意一點，點N是x軸正半軸上的任意一點.

（1）如圖2，點P是OM上一點，∠ONP=∠M，試說明點P是△MON的自相似點；當點M的坐標是（ ，3），點N的坐標是（ ，0）時，求點P的坐標；

（2）如圖3，當點M的坐標是（3， ），點N的坐標是（2，0）時，求△MON的自相似點的坐標；

（3）是否存在點M和點N，使△MON無自相似點？若存在，請直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，

∴△NOP∽△MON，

∴點P是△MON的自相似點；

過P作PD⊥x軸于D，則tan∠POD= ，

∴∠AON=60°，

∵當點M的坐標是（ ，3），點N的坐標是（ ，0），

∴∠MNO=90°，

∵△NOP∽△MON，

∴∠NPO=∠MNO=90°，

在Rt△OPN中，OP=ONcos60°= ，

∴OD=OPcos60°= × = ，PD=OPsin60°= × = ，

∴P（ ， ）；

（2）

解：作ME⊥x軸于H，如圖3所示：

∵點M的坐標是（3， ），點N的坐標是（2，0），

∴OM= =2 ，直線OM的解析式為y= x，ON=2，∠MOH=30°，

分兩種情況：

①如圖3所示：

∵P是△MON的相似點，

∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x軸于Q，

∴PO=PN，OQ= ON=1，

∵P的橫坐標為1，

∴y= ×1= ，

∴P（1， ）；

②如圖4所示：

由勾股定理得：MN= =2，

∵P是△MON的相似點，

∴△PNM∽△NOM，

∴ ，即 ，

解得：PN= ，

即P的縱坐標為 ，代入y= 得： = x，

解得：x=2，

∴P（2， ）；

綜上所述：△MON的自相似點的坐標為（1， ）或（2， ）；

（3）

解：存在點M和點N，使△MON無自相似點，M（ ，3），N（2 ，0）；理由如下：

∵M（ ，3），N（2 ，0），

∴OM=2 =ON，∠MON=60°，

∴△MON是等邊三角形，

∵點P在△ABC的內部，

∴∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，

∴存在點M和點N，使△MON無自相似點.

【解析】（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，證出點P是△MON的自相似點；過P作PD⊥x軸于D，則tan∠POD= ，求出∠AON=60°，由點M和N的坐標得出∠MNO=90°，由相似三角形的性質得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函數(shù)求出OP= ，OD= ，PD= ，即可得出答案；（2）作ME⊥x軸于H，由勾股定理求出OM=2 ，直線OM的解析式為y= x，ON=2，∠MOH=30°，分兩種情況：①作PQ⊥x軸于Q，由相似點的性質得出PO=PN，OQ= ON=1，求出P的縱坐標即可；②求出MN= =2，由相似三角形的性質得出 ，求出PN= ，在求出P的橫坐標即可；（3）證出OM=2 =ON，∠MON=60°，得出△MON是等邊三角形，由點P在△ABC的內部，得出∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，即可得出結論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解反比例函數(shù)的圖象的相關知識，掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點，以及對反比例函數(shù)的性質的理解，了解性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減��； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．