Question

【題目】如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．

（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：FD＝BC；

（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點，若AG＝3，CG＝1，求證：E點為BC中點；

（3）當E點在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交于G點，若BC＝4，BE＝3，則＝　 　（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）或

【解析】

(1)證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；

(2)作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長，得到答案；

(3)過F作FD⊥AG的延長線交于點D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計算即可．

(1)∵FD⊥AC，

∴∠FDA=90°，

∴∠DFA+∠DAF=90°，

∠CAE+∠DAF=90°，

∴∠DFA=∠CAE，

在△AFD和△EAC中，

，

∴△AFD≌△EAC(AAS)，

∴DF=AC，

∵AC=BC，

∴FD=BC；

(2)作FD⊥AC于D，

由(1)得，FD=AC=BC，AD=CE，

在△FDG和△BCG中，

，

∴△FDG≌△BCG(AAS)，

∴DG=CG=1，

∴AD=2，

∴CE=2，

∵BC=AC=AG+CG=4，

∴E點為BC中點；

(3)當點E在CB的延長線上時，過F作FD⊥AG的延長線交于點D，

BC=AC=4，CE=CB+BE=7，

由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，

∴CG=GD，AD=CE=7，

∴，

∴，

當點E在線段BC上時，過F作FD⊥AG的延長線交于點D，

BC=AC=4，CE=CB-BE=1，

由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，

∴CG=GD，AD=CE=1，

∴，

∴，

故答案為：或．