Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，5）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q．

①當(dāng)PQ=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）①當(dāng)PQ=6時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，2），（2，3），（﹣2，﹣1），（5，6）；②存在點(diǎn)P，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（4+，5+）或（4﹣，5﹣）或（4，5）或（3.4）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意確定拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（2）①先求得直線AB的解析式，設(shè)P（m，m+1），Q（m，m2﹣2m﹣3），則PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6，然后分m2﹣3m﹣4=﹣6或m2﹣3m﹣4=6兩種情況求得m的值，從而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②由勾股定理，得PA2=（m+1）2+（m+1）2；PQ2=[m+1﹣（m2﹣2m﹣3）]2，AQ2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2．然后分PA=PQ、PA=AQ、AQ=AP三種情況列出關(guān)于m的方程，解方程求得m的值，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）對(duì)稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），得C（3，0），

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，

解得，

設(shè)拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）①直線AB的解析式為y=x+1，設(shè)P（m，m+1），Q（m，m2﹣2m﹣3），

PQ=|m+1﹣m2+2m+3|=6，

當(dāng)m2﹣3m﹣4=﹣6，

解得m=1，m=2，

∴P（1，2）或（2，3）；

當(dāng)m2﹣3m﹣4=6，解得m=﹣2，m=5，

∴P（﹣2，﹣1）或（5，6）；

綜上所述：當(dāng)PQ=6時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，2），（2，3），（﹣2，﹣1），（5，6）；

（3）∵A（﹣1，0），P（m，m+1），Q（m，m2﹣2m﹣3），由勾股定理，得

PA2=（m+1）2+（m+1）2；PQ2=[m+1﹣（m2﹣2m﹣3）]2，AQ2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2．

①當(dāng)PA=PQ時(shí)，（m+1）2+（m+1）2=[m+1﹣（m2﹣2m﹣3）]2，化簡(jiǎn)，得（m+1）2[（m﹣4）2﹣2]=0．

于是，得（m﹣4）2﹣2=0，m+1=0．

解得m1=4+，m2=4﹣，m3=﹣1，

∵當(dāng)m=﹣1時(shí)，P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，

∴P1（4+，5+），P2（4﹣，5﹣）；

②當(dāng)PA=AQ時(shí)，（m+1）2+（m+1）2=（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2，化簡(jiǎn)，得（m+1）2（m﹣3﹣1）2=0，

于是，得（m﹣4）2=0，解得m4=4，m5=﹣1，

∴P3（4，5）；

③當(dāng)AQ=AP時(shí)，（m+1）2+（m2﹣2m﹣3）2=[m+1﹣（m2﹣2m﹣3）]2，化簡(jiǎn)，得（m+1）2[（m﹣4）2﹣2]=0．

于是，得（m2﹣2m﹣3）2=0．m+1=0，

解得m6=3，m7=﹣1，

∴P（3，4）；

綜上，存在點(diǎn)P，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（4+，5+）或（4﹣，5﹣）或（4，5）或（3.4）．