Question

【題目】在正方形ABCD中，DE為正方形的外角∠ADF的角平分線，點(diǎn)G在線段AD上，過點(diǎn)G作PG⊥DE于點(diǎn)P，連接CP，過點(diǎn)D作DQ⊥PC于點(diǎn)Q，交射線PG于點(diǎn)H．

（1）如圖1，若點(diǎn)G與點(diǎn)A重合．

①依題意補(bǔ)全圖1；

②判斷DH與PC的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

（2）如圖2，若點(diǎn)H恰好在線段AB上，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)寫出求DP長(zhǎng)的思路（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）①補(bǔ)圖見解析；②DH=PC，證明見解析；（2）解法見解析.

【解析】

試題分析：（1）①依題意補(bǔ)全圖形即可；

②由正方形的性質(zhì)和角平分線得出∠EDF=∠ADE=45°，證出∠HAD=∠PDC，∠ADQ=∠DCQ，由ASA證明△HAD≌△PDC，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；

（2）思路如下：a、與②同理可證∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，可證△HGD∽△PDC；b、由②可知△GPD為等腰直角三角形，可設(shè)DP=PG=x，則GD=x，AG=1﹣x，易證△AGH為等腰直角三角形，則GH=﹣2x；c、由△HGD∽△PDC得出比例式，解方程即可求得DP的長(zhǎng)．

試題解析：（1）①依題意補(bǔ)全圖1，如圖1所示：

②DH=PC，理由如下：

∵DE為正方形的外角∠ADF的角平分線，

∴∠EDF=∠ADE=45°，

∵PG⊥DE于點(diǎn)P，

∴∠DAP=45°，

∴∠HAD=135°，∠PDC=135°，

∴∠HAD=∠PDC，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=CD，

∵DQ⊥PC，

∴∠CDQ+∠DCQ=90°，

∵∠ADQ+∠CDQ=90°，

∴∠ADQ=∠DCQ，

在△HAD和△PDC中，

，

∴△HAD≌△PDC（ASA），

∴DH=CP；

（2）求DP長(zhǎng)的思路如下：如圖2所示：

a、與②同理得：∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，

∴△HGD∽△PDC；

b、由②可知△GPD為等腰直角三角形，

∴∠AGH=∠PGD=45°，

∴△AGH為等腰直角三角形，

設(shè)DP=PG=x，則GD=x，AG=1﹣x，GH=﹣2x；

c、由△HGD∽△PDC得：，

即，

解得：x=（負(fù)值舍去），

∴DP=．