【題目】1)閱讀理解:

我們知道,只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個(gè)經(jīng)典的希臘問題之一是三等分任意角,但是這個(gè)任務(wù)可以借助如圖1所示的一邊上有刻度的勾尺完成,勾尺的直角頂點(diǎn)為P

寬臂的寬度=PQQRRS,(這個(gè)條件很重要哦。┕闯叩囊贿MN滿足MN,Q三點(diǎn)共線(所以PQMN).

下面以三等分∠ABC為例說明利用勾尺三等分銳角的過程:

第一步:畫直線DE使DEBC,且這兩條平行線的距離等于PQ;

第二步:移動(dòng)勾尺到合適位置,使其頂點(diǎn)P落在DE上,使勾尺的MN邊經(jīng)過點(diǎn)B,同時(shí)讓點(diǎn)R落在∠ABCBA邊上;

第三步:標(biāo)記此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在位置,作射線BQ和射線BP

請(qǐng)完成第三步操作,圖中∠ABC的三等分線是射線   、   

2)在(1)的條件下補(bǔ)全三等分∠ABC的主要證明過程:

   BQPR,

BPBR.(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)

∴∠   =∠   

PQMNPTBC,PTPQ,

∴∠   =∠   

(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)

∴∠   =∠   =∠   

3)在(1)的條件下探究:是否成立?如果成立,請(qǐng)說明理由;如果不成立,請(qǐng)?jiān)趫D2中∠ABC的外部畫出(無需寫畫法,保留畫圖痕跡即可).

【答案】1)作圖見解析, BPBQ;(2PQQRABQ,PBQ,PBQ,PBCABQ,PBQ,PBC;(3)不成立,圖見解析.

【解析】

1)根據(jù)題意和作法即可補(bǔ)全圖形,進(jìn)而對(duì)∠ABC的三等分線進(jìn)行判斷;

2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、角平分線的判定依次進(jìn)行判斷填寫即可;

3)連接BS,如圖2不成立,如圖3,作點(diǎn)Q關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)V,作射線BV,即為所求.

解:(1)如圖1,ABC的三等分線是射線BP、射線BQ;故答案為:BP,BQ;

2)如圖1,作PTBC于點(diǎn)TPQQR,BQPR

BPBR.(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)

∴∠ABQ=∠PBQ

PQMN,PTBC,PTPQ

∴∠PBQ=∠PBC.(角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)

∴∠ABQ=∠PBQ=∠PBC

故答案為: PQQR,ABQ,PBQ,PBQ,PBCABQ,PBQ,PBC

3)在(1)的條件下,連接BS,如圖2ABS≠∠ABQ,所以ABSABC不成立;

如圖3,作點(diǎn)Q關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)V,作射線BV,則ABV滿足ABVABQABC,且在ABC外部,符合題意.

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②作∠ABM 的角平分線交ACD點(diǎn);

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