Question

【題目】矩形中，為中點(diǎn)、為中點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)，連接，求證：．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】

設(shè)AC、EF相交于點(diǎn)K，延長(zhǎng)FH與DA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)GH與AD相交于點(diǎn)N，求出△AMH和△KFH相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，求出△ANH和△KEH相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，然后求出AM=AN，再利用“角邊角”證明△AEN和△BEG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=BG，然后求出DM=CG，再利用“邊角邊”證明△DFM和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠M=∠CGF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠HFE=∠M，∠EFG=∠CGF，再等量代換即可得證．

證明：如圖，設(shè)、相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，

∵為中點(diǎn)、為中點(diǎn)，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∵為中點(diǎn)、為中點(diǎn)，是對(duì)角線，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴．