【題目】在正方形ABCD中,有一直徑為CD的半圓,圓心為點(diǎn)O,CD=2,現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F,分別從點(diǎn)A、點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)E沿線段AD以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F沿線段CB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)E也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)A的時(shí)間為t(s),回答下列問題:
(1)如圖①,根據(jù)下列條件,分別求出t的值.
①EF與半圓相切;
②△EOF是等腰三角形.
(2)如圖②,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn),Q是半圓上一點(diǎn),請(qǐng)直接寫出PQ+OQ的最小值與最大值.
【答案】(1)①當(dāng)EF與半圓相切時(shí),t的值為1-;②當(dāng)△EOF是等腰三角形時(shí),t的值為或1;(2)1、1+.
【解析】
(1)①如圖,設(shè)EF與半圓相切于點(diǎn)G,由切線長定理可知ED=EG,F(xiàn)C=FG,在Rt△EHF中,利用勾股定理列出方程即可解決問題;
②分三種情形討論,分別列出方程求解即可;
(2)①當(dāng)點(diǎn)P在半圓上時(shí),PQ的最小值為0,此時(shí)PQ+OQ的最小值為1.②當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到B時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的結(jié)論最大,當(dāng)Q與D重合時(shí),PQ+OQ的值最大;
(1)①設(shè)EF與半圓相切于點(diǎn)G,
過點(diǎn)E作EH⊥BC,垂足為點(diǎn)H.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=2,∠A=∠B=∠ADC=∠BCD=90°,
∴OD⊥AD,且AD經(jīng)過半徑OD的外端點(diǎn)D,
∴AD與半圓相切于點(diǎn)D,
同理可證:BC與半圓相切于點(diǎn)C,
∴ED=EG=2-t,CF=FG=2t,
∴EF=2+t,
∵EH⊥BC,垂足為點(diǎn)H,∴∠BHE=90°,
∵∠A=∠B=90°,∴四邊形ABHE是矩形,
∴EH=AB=2,BH=AE=t,
∴HF=2-3t,
在△EHF中,∠EHF=90°,
∴EH2+HF2=EF2,
∴22+(2-3t)2=(2+t)2,
解這個(gè)方程,得t1=1-<1,t2=1+>1(不合題意,舍去),
∴當(dāng)EF與半圓相切時(shí),t的值為1-.
②解:在△EDO中,∵∠EDO=90°,∴OE2=t2-4t+5,
同理可證:OF2=1+4t2, EF2=9t2-12t+8,
第一種情況:當(dāng)OE=OF時(shí),則OE2=OF2,
∴t2-4t+5=1+4t2,
解這個(gè)方程,得t1=<1,t2=-2<0(不合題意,舍去),
第二種情況:當(dāng)OE=EF時(shí),則OE2=EF2,
∴t2-4t+5=9t2-12t+8,此方程無解,
第三種情況:當(dāng)OF=EF時(shí),則OF2=EF2,
∴1+4t2=9t2-12t+8,
解這個(gè)方程,得t1=1,t2=1.4>1(不合題意,舍去),
綜上所述:當(dāng)△EOF是等腰三角形時(shí),t的值為或1.
(3)
由題意可知,點(diǎn)P在邊CD的垂直平分線上,當(dāng)運(yùn)動(dòng)開始的時(shí)候點(diǎn)P在圓周上,隨著運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P向做運(yùn)動(dòng)直到停止
當(dāng)P在圓上時(shí),取P、Q為同一點(diǎn),PQ+OQ最小為1,
當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到B時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的結(jié)論最大,當(dāng)Q與D重合時(shí),PQ+OQ的值最大
=+1=1+
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,把矩形OCBA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角,得到矩形FCDE,設(shè)FC與AB交于點(diǎn)H,且A(0,4),C(6,0).
(1)當(dāng)α=45°時(shí),求H點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)當(dāng)α=60°時(shí),ΔCBD是什么特殊的三角形?說明理由.
(3)當(dāng)AH=HC時(shí),求直線HC的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt中,,點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作交邊于,過點(diǎn)作射線交邊于點(diǎn),交射線于點(diǎn),聯(lián)結(jié).設(shè)兩點(diǎn)的距離為,兩點(diǎn)的距離為.
(1)求證:;
(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出的取值范圍;
(3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中,能否構(gòu)成等腰三角形?如果能,請(qǐng)直接寫出的長,如果不能,請(qǐng)簡要說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)M(0, )為圓心,以 長為半徑作⊙M交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于C,D兩點(diǎn),連接AM并延長交⊙M于P點(diǎn),連接PC交x軸于E.
(1)求出CP所在直線的解析式;
(2)連接AC,請(qǐng)求△ACP的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O在AC上,以OA為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,連接DE.
(1)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若AC=6,BC=8,OA=2,求線段DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑為1,A,P,B,C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn).∠APC=∠CPB=60°.
(1)判斷△ABC的形狀: ;
(2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)當(dāng)點(diǎn)P位于的什么位置時(shí),四邊形APBC的面積最大?求出最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的方程
(1)求證:不論m取何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
(2)若方程的一個(gè)根為1,求m的值及方程的另一根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的方程
(1)求證:不論m取何值時(shí),方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
(2)若方程的一個(gè)根為1,求m的值及方程的另一根
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí),統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率,繪制了如下折線統(tǒng)計(jì)圖,則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是( 。
A. 袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球,從中隨機(jī)取一個(gè),取到紅球
B. 擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,向上的面的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)
C. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,兩次都出現(xiàn)反面
D. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,兩次向上的面的點(diǎn)數(shù)之和是7或超過9
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