Question

如圖，M是以AB為直徑的⊙O內(nèi)的一點(diǎn)，AM，BM的延長線分別與圓O交于點(diǎn)C，D，過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作⊙O的切線與MN交于點(diǎn)E，連接DE，
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=10，BD=8，MN=MC，求DE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）連接AD，BC，OC，OE，CN，由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到AC垂直于BC，再由EN垂直于BN，得到B，C，M，N四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理得到一對角相等，同理O，E，C，N四點(diǎn)共圓，再利用圓周角定理得到一對角相等，確定出∠DOE=∠COE，再由OD=OC，OE=OE，利用SAS得到三角形DOE與三角形COE全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到DE垂直于OD，即可確定出DE為圓O的切線；
（2）由MN=MC，BM=BM，利用HL得到直角三角形BMN與直角三角形BMC全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠ABD=∠DBC，而∠DOE=∠DBC，得到∠ABD=∠DOE，在直角三角形ABD中利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠ABD的值，即為tan∠DOE的值，在直角三角形DOE中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出DE的長．

解答：（1）證明：連接AD，BC，OC，OE，CN，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∵M(jìn)N⊥NB，
∴B，C，M，N四點(diǎn)共圓，
∴∠CNM=∠DBC，
∵EN⊥AN，OC⊥CE，
∴O，E，C，N四點(diǎn)共圓，
∴∠COE=∠CNM，
∴∠COE=∠DBC，
∵∠DOC=2∠DBC，
∴∠DOC=2∠EOC，
∴∠DOE=∠COE，
在△DOE和△COE中，

OD=OC ∠DOE=∠COE OE=OE

，
∴△DOE≌△COE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
則DE為圓O的切線；
（2）在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=6，
在Rt△BMN和Rt△BMC中，

MC=MN BM=BM

，
∴Rt△BMN≌Rt△BMC（HL），
∴∠MBN=∠MBC，即∠ABD=∠CBD，
∴兩個圓周角所對的圓心角∠AOD=∠COD，
∴∠ABD=∠DOE，
∴tan∠DOE=tan∠ABD=

6

8

=

DE

OD

，
則DE=

3

4

×5=

15

4

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，以及四點(diǎn)共圓的條件，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．