Question

豐富的圖形世界里有奇妙的數(shù)量關(guān)系，讓我們通過(guò)下面這些幾何體開(kāi)始神奇的探索之旅．
觀察：下面這些幾何體都是簡(jiǎn)單幾何體，請(qǐng)你仔細(xì)觀察．

統(tǒng)計(jì)：每個(gè)幾何體都會(huì)有棱（棱數(shù)為E）、面（面數(shù)為F）、頂點(diǎn)（頂點(diǎn)數(shù)為V），現(xiàn)將有關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，完成下表．

幾何體	a	b	c	d	e
棱數(shù)（E）	6		9		15
面數(shù)（F）	4	5	5	6
頂點(diǎn)數(shù)（V）	4	5		8

發(fā)現(xiàn)：（1）簡(jiǎn)單幾何中，V+F-E=

 

；
（2）簡(jiǎn)單幾何中，每條棱都是

 

個(gè)面的公共邊；
（3）在正方體中，每個(gè)頂點(diǎn)處有

 

條棱，每條棱都有

 

個(gè)頂點(diǎn)，所以有2×E=3×V．
應(yīng)用：有一個(gè)叫“正十二面體”的簡(jiǎn)單幾何體，它有十二個(gè)面，每個(gè)面都是正五邊形，它的每個(gè)頂點(diǎn)處都有相同數(shù)目的棱．請(qǐng)問(wèn)它有

 

條棱，

 

個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處有

 

條棱．

Answer 1

考點(diǎn)：歐拉公式,規(guī)律型：圖形的變化類

專題：

分析：（1）根據(jù)觀察圖形，可得V、F、E的關(guān)系；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)與棱的關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)正十二邊形有十二個(gè)面，每個(gè)面是五邊形，每條棱為兩個(gè)面共用，可得楞數(shù)，再根據(jù)棱與頂點(diǎn)的關(guān)系，可得頂點(diǎn)數(shù)．

解答：解：（1）簡(jiǎn)單幾何中，V+F-E=2；
（2）簡(jiǎn)單幾何中，每條棱都是 2個(gè)面的公共邊；
（3）在正方體中，每個(gè)頂點(diǎn)處有 3條棱，每條棱都有 2個(gè)頂點(diǎn)，所以有2×E=3×V；
應(yīng)用：有一個(gè)叫“正十二面體”的簡(jiǎn)單幾何體，它有十二個(gè)面，每個(gè)面都是正五邊形，它的每個(gè)頂點(diǎn)處都有相同數(shù)目的棱．請(qǐng)問(wèn)它有 30條棱，20個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處有 3條棱，
故答案為：2；3，2；30，20，3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了歐拉公式，頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-楞數(shù)=2，注意2×E=3×V．