【題目】如圖1,已知拋物線的頂點為A(2,1),且經(jīng)過原點O,與x軸的另一個交點為B.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點C在拋物線的對稱軸上,點D在拋物線上,且以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形,求D點的坐標;

(3)連接OA、AB,如圖2,在x軸下方的拋物線上是否存在點P,使得OBP與OAB相似?若存在,求出P點的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x;(2)見解析;(3)不存在,見解析

【解析】解:(1)由題意可設(shè)拋物線的解析式為

y=a(x﹣2)2+1

拋物線過原點,

0=a(0﹣2)2+1,

拋物線的解析式為y=﹣(x﹣2)2+1,

即y=﹣x2+x

(2)如圖1,當四邊形OCDB是平行四邊形時,CD=OB,

由0=﹣(x﹣2)2+1得x1=0,x2=4,

B(4,0),OB=4.

由于對稱軸x=2

D點的橫坐標為6.

將x=6代入y=﹣(x﹣2)2+1,得y=﹣3,

D(6,﹣3);

根據(jù)拋物線的對稱性可知,

在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點的坐標為(﹣2,﹣3),

當四邊形OCBD是平行四邊形時,D點即為A點,此時D點的坐標為(2,1)

(3)不存在.

如圖2,由拋物線的對稱性可知:AO=AB,AOB=ABO.

BOP與AOB相似,必須有POB=BOA=BPO

設(shè)OP交拋物線的對稱軸于A′點,顯然A′(2,﹣1)

直線OP的解析式為y=﹣x

由﹣x=﹣x2+x,得x1=0,x2=6.

P(6,﹣3)

過P作PEx軸,在RtBEP中,BE=2,PE=3,

PB=4.

PBOB,

∴∠BOP≠∠BPO,

∴△PBO與BAO不相似,

同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點.

所以在該拋物線上不存在點P,使得BOP與AOB相似.

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