【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB90°,OC2BOAC6,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn).

1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);

2)求拋物線的解析式;

3)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E,使PEDE

①求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使△ABM為直角三角形?若存在,求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)①P(﹣1,6);②點(diǎn)M的坐標(biāo)為:∴M(﹣1,3+)或(﹣1,3﹣)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,).

【解析】

(1)先根據(jù)已知求點(diǎn)A的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;

(2)①先得AB的解析式為:y=-2x+2,根據(jù)PDx軸,設(shè)P(x,-x2-3x+4),則E(x,-2x+2),根據(jù)PE=DE,列方程可得P的坐標(biāo);

②先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可得AB,AM,BM的長(zhǎng),分三種情況:△ABM為直角三角形時(shí),分別以A、B、M為直角頂點(diǎn)時(shí),利用勾股定理列方程可得點(diǎn)M的坐標(biāo).

(1)B(1,0),

OB=1,

OC=2OB=2,

C(﹣2,0),

RtABC中,tanABC=2,

=2,

=2,

AC=6,

A(﹣2,6),

A(﹣2,6)和B(1,0)代入y=﹣x2+bx+c得:,

解得:,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣3x+4;

(2)①∵A(﹣2,6),B(1,0),

易得AB的解析式為:y=﹣2x+2,

設(shè)P(x,﹣x2﹣3x+4),則E(x,﹣2x+2),

PE=DE,

﹣x2﹣3x+4﹣(﹣2x+2)=(﹣2x+2),

x=1(舍)或﹣1,

P(﹣1,6);

②∵M在直線PD上,且P(﹣1,6),

設(shè)M(﹣1,y),

AM2=(﹣1+2)2+(y﹣6)2=1+(y﹣6)2

BM2=(1+1)2+y2=4+y2,

AB2=(1+2)2+62=45,

分三種情況:

i)當(dāng)∠AMB=90°時(shí),有AM2+BM2=AB2

1+(y﹣6)2+4+y2=45,

解得:y=3,

M(﹣1,3+)或(﹣1,3﹣);

ii)當(dāng)∠ABM=90°時(shí),有AB2+BM2=AM2,

45+4+y2=1+(y﹣6)2,y=﹣1,

M(﹣1,﹣1),

iii)當(dāng)∠BAM=90°時(shí),有AM2+AB2=BM2,

1+(y﹣6)2+45=4+y2,y=,

M(﹣1,);

綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為:∴M(﹣1,3+)或(﹣1,3﹣)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,).

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(1)之間的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若每件甲產(chǎn)品成本為萬(wàn)元,每件乙產(chǎn)品成本為萬(wàn)元,受商場(chǎng)資金影響,該商場(chǎng)能提供的進(jìn)貨資金至多為萬(wàn)元,求出該商場(chǎng)銷(xiāo)售甲、乙兩種產(chǎn)品各為多少件時(shí),能獲得最大利潤(rùn).

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1)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________;

2)當(dāng)是等腰三角形時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);

3)如圖2,過(guò)點(diǎn)交線段于點(diǎn),連接,若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線上時(shí),_____________.(直接寫(xiě)出答案)

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1)圖②中,a的值為   ;點(diǎn)M的坐標(biāo)為   ;

2)當(dāng)甲車(chē)在乙車(chē)與B地的中點(diǎn)位置時(shí),求行駛的時(shí)間t的值.

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