Question

如圖，矩形紙片ABCD，點E是AB上一點，且BE∶EA=5∶3，EC=，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，設這個點為F，則（1）AB=     ▲     ，BC=    ▲   ；（2）若⊙O內切于以F、E、B、C為頂點的四邊形，則⊙O的面積=  ▲     ．

Answer 1

AB=24，BC=30，⊙O的面積=100．（1+1+2分）

（1）求線段的長度問題，題中可先設其長度為k，然后利用三角形相似建立平衡關系，再用勾股定理求解即可．
（2）連接OB，由⊙O內切于以F、E、B、C為頂點的四邊形，則BE=EF，BC=CF；再由BE：EA=5：3可以設BE=5x，EA=3x，則FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF²=CD²+DF²，可得CF=10x，DF=6x，則BC=10x；在Rt△EBC中，由勾股定理可求得x的值，再由面積S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC求得⊙O半徑，求出面積．
解：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，
∴∠AFE+∠AEF=90°
∵F在AD上，∠EFC=90°
∴∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AEF=∠DFC
∴△AEF∽△DFC
∴=．
∵BE：EA=5：3
設BE=5k，AE=3k
∴AB=DC=8k，
由勾股定理得：AF=4k，
∴=
∴DF=6k
∴BC=AD=10k
在△EBC中，根據(jù)勾股定理得BE²+BC²=EC²
∵CE=15，BE=5k，BC=10k
∴(5k)²+(10k)²=(15)²
∴k=3
∴AB=8k=24，BC=10k=30
（2）連接OB，
由于⊙O內切于以F、E、B、C為頂點的四邊形，則BE=EF，BC=CF；
由BE：EA=5：3，設BE=5x，EA=3x，
則FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF²=CD²+DF²，即CF²=（8x）²+（CF-4x）²，可得CF=10x，DF=6x，則BC=10x；
在Rt△EBC中，EB²+BC²=EC²，即（5x）²+（10x）²=15 ²，
解得：x=3，則BE=15，BC=30．
再由S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC，則×BE×BC=×BE×r+×BC×r，
解得：r=10；
則⊙O的面積為πr²=100π．
本題考查了矩形的性質，會解決一些簡單的翻折問題，能夠利用勾股定理求解直角三角形；同時也考查了切線的性質及勾股定理的應用，難度稍大，解題時要理清思路．