Question

【題目】已知：如圖，在中，，，，點為斜邊的中點，以為圓心，5為半徑的圓與相交于、兩點，連結、．

（1）求的長；

（2）求的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）．

【解析】

（1）過點O作OG⊥EF于點G，根據(jù)垂徑定理得出EG=FG，然后由O為AB的中點，OG∥AC可推出OG為△ABC的中位線，從而可求出OG的長，在Rt△OEG中，由勾股定理可求出EG的長，從而可得出EF的長；

（2）首先由直角三角形斜邊中線的性質可得出CO=BO，然后根據(jù)等腰三角形的性質可得出CG=BG，由（1）中EG=3可得，CE=5=OE，所以∠COE=∠OCE，在Rt△OCG中，求出sin∠OCG的值即可得出結果．

解：（1）過點O作OG⊥EF于點G，

∴EG=FG，OG∥AC，

又O為AB的中點，∴G為BC的中點，即OG為△ABC的中位線，

∴OG=AC=4，

在Rt△OEG中，由勾股定理得，EG=，

∴EF=2EG=6；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=，

又O為AB的中點，

∴CO=BO=4，又OG⊥BC，

∴CG=BG=BC=8，

∴CE=CG-EG=8-3=5，

∴CE=EO，

∴∠COE=∠OCE，

∴sin∠OCE=．

∴∠COE的正弦值為．