Question

【題目】在一次課題學(xué)習(xí)中活動中,老師提出了如下一個問題:

點P是正方形ABCD內(nèi)的一點,過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N,使點P是線段MN的三等分點,這樣的直線能夠畫幾條?

經(jīng)過思考,甲同學(xué)給出如下畫法:

如圖1,過點P畫PE⊥AB于E,在EB上取點M,使EM=2EA,畫直線MP交AD于N,則直線MN就是符合條件的直線l.

根據(jù)以上信息,解決下列問題:

(1)甲同學(xué)的畫法是否正確?請說明理由.

(2)在圖1中,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,請直接在圖1中畫出.

(3)如圖2,A1、C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點,且A1C1∥AD.當(dāng)點P在線段A1C1上時,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,可以畫出幾條?

(4)如圖3,正方形ABCD邊界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在邊的三等分點.當(dāng)點P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時,試討論,符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況.

Answer 1

【答案】(1)甲同學(xué)的畫法正確，理由見解析；(2)能畫出一個符合題目條件的直線,圖1；(3)若點P在線段A1C1上,能夠畫出符合題目條件的直線無數(shù)條,圖2；(4) 見解析.

【解析】

（1）利用△MPE∽△MNA中的成比例線段可知EM=2EA，所以MP：MN=2：3，即點P是線段MN的一個三等分點；

（2）由（1）中的證明過程可知，在EB上取M1，使EM1=AE，直線M1P就是滿足條件的直線，所以能畫出一條符合題目條件的直線；

（3）當(dāng)點P在線段A1C1上，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知能夠畫出符合題目條件的直線有無數(shù)條；

（4）分情況討論．

(1)甲同學(xué)的畫法正確.

∵PE∥AD，

∴△MPE～△MNA，

∴，

∵EM=2EA，

∴MP:MN=2:3，

∴點P是線段MN的一個三等分點；

(2)能畫出一個符合題目條件的直線，在EB上取M1，使EM1=AE，直線M1P就是滿足條件的直線，如圖1；

(3)若點P在線段A1C1上，能夠畫出符合題目條件的直線無數(shù)條，如圖2；

(4)若點P在A1C1，A2C2，B1D1，B2D2上時，可以畫出無數(shù)條符合條件的直線l；

當(dāng)點P在正方形A0B0C0D0內(nèi)部時，不存在這樣的直線l，使得點P是線段MN的三等分點；

當(dāng)點P在矩形ABB1D1，CDD2B2，A0D0D2D1，B0B1B2C0內(nèi)部時，過點P可畫出兩條符合條件的直線l，使得點P是線段MN的三等分點.