Question

【題目】如圖 1，二次函數(shù)的圖像過點(diǎn) A （3，0），B （0，4）兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 出發(fā)，在線段 AB 上沿 A → B 的方向以每秒 2 個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作 PD⊥y 于點(diǎn) D ，交拋物線于點(diǎn) C ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t （秒）．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接 BC ，當(dāng)t＝時(shí)，求△BCP的面積；

（3）如圖 2，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 出發(fā)時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q 同時(shí)從 O 出發(fā)，在線段 OA 上沿 O→A 的方向以 1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P 與 B 重合時(shí)，P 、 Q 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接 DQ 、 PQ ，將△DPQ沿直線 PC 折疊到 △DPE ．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè) △DPE 和 △OAB重合部分的面積為 S ，直接寫出 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式及 t 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）．

【解析】

試題分析：（1）直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組解出即可；

（2）如圖1，要想求△BCP的面積，必須求對應(yīng)的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用點(diǎn)P和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)求出，要注意符號；

（3）分兩種情況討論：①△DPE完全在△OAB中時(shí)，即當(dāng)時(shí)，如圖2所示，重合部分的面積為S就是△DPE的面積；②△DPE有一部分在△OAB中時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖4所示，△PDN就是重合部分的面積S．

試題解析：（1）把A（3，0），B（0，4）代入中得：

，解得：，∴解析式為：；

（2）如圖1，當(dāng)時(shí)，AP=2t，∵PC∥x軸，∴，∴，∴OD===，當(dāng)y=時(shí)，=，，解得：，，∴C（﹣1，），由，得，則PD=2，∴S△BCP=×PC×BD==4；

（3）分兩種情況討論：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，由（2）得OD=QM=ME=，∴EQ=，由折疊得：EQ⊥PD，則EQ∥y軸，∴，∴，∴t=，同理得：PD=，∴當(dāng)時(shí)，S=S△PDQ=×PD×MQ=，；

②當(dāng)時(shí)，如圖4，P′D′=，點(diǎn)Q與點(diǎn)E關(guān)于直線P′C′對稱，則Q（t，0）、E（t，），∵AB的解析式為：，D′E的解析式為：，則交點(diǎn)N（，），∴S=S△P′D′N=×P′D′×FN=，∴．

綜上所述：．