【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,E是BC的中點,連接DE、OE.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)求證:BC2=2CDOE;
(3)若cosC= ,DE=4,求AD的長.

【答案】
(1)證明:如圖1,

連接BD,OD,

∵AB為⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,

∴∠BDC=90°,

在Rt△BDC中,E是BC的中點,

∴DE=CE=BE= BC,

∴∠3=∠4,

∵OD=OB,

∴∠1=∠2,

∴∠ODE=∠1+∠3=∠2+∠4=90°,

∴DE與⊙O相切


(2)證明:如圖2,

在直角三角形ABC中,∠C+∠A=90°,

在直角三角形BDC中,∠C+∠4=90°,

∴∠A=∠4,

又∵∠C=∠C,

∴△BCD∽△ACB,

,

∴BC2=ACCD,

∵O是AB的中點,E是BC的中點,

∴AC=2OE,

∴BC2=2CDOE


(3)解:如圖3,

由(2)知,DE= BC,又DE=4,

∴BC=8,

在直角三角形BDC中, =cosC= ,

∴CD= ,

在直角三角形ABC中, =cosC= ,

∴AC=12,

∴AD=AC﹣CD=


【解析】(1)連接BD,OD,運用直徑所對的圓周角為90°,結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半,即可求證;(2)通過證明△BCD∽△ACB,結(jié)合三角形的中位線定理即可證明;(3)在直角三角形BDC和直角三角形ABC中,運用三角函數(shù)即可求出CD和AC的值,進而求解.

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(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為CD上方拋物線上一點,過點P作x軸的平行線,交直線CD于F,設(shè)P點的橫坐標為m,線段PF的長為d,求d與m的函數(shù)關(guān)系式;
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A.
B.
C.
D.

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(1)如圖1,當點D在線段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=度;

(2)設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β.
①如圖2,當點D在線段BC上移動,則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;

②當點D在直線BC上移動,則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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